Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể đồ thị của hàm số y = {x^4} - 2m{x^2} + 1 có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1

Ta có $y' = 4{x^3} - 4mx$; $y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right.$.

Để hàm số có ba cực trị thì $m > 0\,\,\,\,\left( * \right)$.

Khi đó $y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm \sqrt m \end{array} \right.$.

Ta có tọa độ các điểm cực trị $A\left( {0;1} \right) \in Oy,B\left( {\sqrt m ;1 - {m^2}} \right),C\left( { - \sqrt m ;1 - {m^2}} \right)$.

Cách 1:

Tam giác $ABC$ cân tại $A \in Oy$ nên tâm đường tròn ngoại tiếp $I$ của tam giác $ABC$ thuộc $Oy$.

Gọi $I\left( {0;t} \right)$ với $t < 1$.

Theo giả thiết ta có $IA = IB = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}IA = 1\\IB = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {1 - t} \right| = 1 - t = 1\,\,\left( {{\rm{do}}\,t < 1} \right)\\\sqrt {{{\left( {\sqrt m } \right)}^2} + {{\left( {1 - {m^2} - t} \right)}^2}}  = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 0\\m\left( {{m^3} - 2m - 1} \right) = 0\end{array} \right.$

$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0;m = 1\\m = \frac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.$ .

Kết hợp với điều kiện $\left( * \right)$ ta được $m = 1;m = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}$

Cách 2: Gọi $H$ là trung điểm của $BC \Rightarrow H\left( {0;1 - {m^2}} \right)$.

Ta có ${S_{ABC}} = \frac{{AB.AC.BC}}{{4R}} = \frac{1}{2}AH.BC$.

Mà $R = 1;AB = AC \Rightarrow A{B^2} = 2AH$.

Từ đó suy ra $m = 1;m = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}$.