Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể đồ thị của hàm số y = {x^4} - 2m{x^2} + 1 có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1

Ta có \(y' = 4{x^3} - 4mx\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right.\).

Để hàm số có ba cực trị thì \(m > 0\,\,\,\,\left( * \right)\).

Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm \sqrt m \end{array} \right.\).

Ta có tọa độ các điểm cực trị \(A\left( {0;1} \right) \in Oy,B\left( {\sqrt m ;1 - {m^2}} \right),C\left( { - \sqrt m ;1 - {m^2}} \right)\).

Cách 1:

Tam giác \(ABC\) cân tại \(A \in Oy\) nên tâm đường tròn ngoại tiếp \(I\) của tam giác \(ABC\) thuộc \(Oy\).

Gọi \(I\left( {0;t} \right)\) với \(t < 1\).

Theo giả thiết ta có \(IA = IB = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}IA = 1\\IB = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {1 - t} \right| = 1 - t = 1\,\,\left( {{\rm{do}}\,t < 1} \right)\\\sqrt {{{\left( {\sqrt m } \right)}^2} + {{\left( {1 - {m^2} - t} \right)}^2}}  = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 0\\m\left( {{m^3} - 2m - 1} \right) = 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0;m = 1\\m = \frac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\) .

Kết hợp với điều kiện \(\left( * \right)\) ta được \(m = 1;m = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\)

Cách 2: Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow H\left( {0;1 - {m^2}} \right)\).

Ta có \({S_{ABC}} = \frac{{AB.AC.BC}}{{4R}} = \frac{1}{2}AH.BC\).

Mà \(R = 1;AB = AC \Rightarrow A{B^2} = 2AH\).

Từ đó suy ra \(m = 1;m = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\).