Tìm m để đồ thị hàm số y=mx^4+(m+1)x^2+1 có đúng một điểm cực tiểu

Với \(m=0\) thì hàm số đã cho trở thành \(y=x^2+1\) là hàm số bậc hai có đồ thị là parabol có duy nhất một điểm cực tiểu. Nên \(m=0\) thỏa mãn.

Với \(m\ne0\) thì đây là hàm số bậc bốn trùng phương, ta đi tìm điều kiện để đồ thị hàm số có duy nhất một điểm cực tiểu.

Ta có:

 \(\begin{array}{l} y' = 4m{x^3} + 2(m + 1)x = 2x(2m{x^2} + (m + 1))\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ 2m{x^2} + m + 1 = 0\,(2) \end{array} \right. \end{array}\)  

Trường hợp 1: Đồ thị hàm số có duy nhất một điểm cực trị và đó là điểm cực tiểu khi:

Hệ số a của hàm số đã cho dương và phương trình \(y'=0\) có duy nhất một nghiệm.

Điều này xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l} a = m > 0\\ {\Delta _{(2)}} = - \left( {m + 1} \right)m < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m > 0.\)

Trường hợp 2: Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị, trong đó có 1 điểm cực tiểu và hai điểm cực đại.

Khi đó Hệ số a âm và \(y'=0\) có ba nghiệm phân biệt.

Điều này xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l} a = m < 0\\ - \left( {m + 1} \right)m > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 0 > m > - 1.\)

Kết hợp các trường hợp ta có \(m>-1.\)