Tìm giá trị của m để phương trình \({2^x} + 3 = m\sqrt {{4^x} + 1}\) có hai nghiệm phân biệt.

Đặt 2x = t > 0 khi đó phương trình đã cho tương đương với \(t + 3 = m\sqrt {{t^2} + 1} \ (1)\)

Từ (1) ta có \(m = \frac{{t + 3}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }}\)

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \frac{{t + 3}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }}\) và đường thẳng y = m

Xét hàm số: 

\(f(t) = \frac{{t + 3}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }}\) với \(t \in (0; + \infty )\)

Ta có: 

\(f'(t) = \frac{{1 - 3t}}{{({t^2} + 1)\sqrt {{t^2} + 1} }};f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3}\)

Lập nhanh bảng biến thiên ta thấy ngay được khi \(3 < m < \sqrt {10}\) thì đường thẳng y=m và đồ thị hàm số \(y = \frac{{t + 3}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }}\) cắt nhau tại 2 điểm.