Tìm giá trị của m để phương trình ${2^x} + 3 = m\sqrt {{4^x} + 1}$ có hai nghiệm phân biệt.

Đặt 2x = t > 0 khi đó phương trình đã cho tương đương với $t + 3 = m\sqrt {{t^2} + 1} \ (1)$

Từ (1) ta có $m = \frac{{t + 3}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }}$

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = \frac{{t + 3}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }}$ và đường thẳng y = m

Xét hàm số: 

$f(t) = \frac{{t + 3}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }}$ với $t \in (0; + \infty )$

Ta có: 

$f'(t) = \frac{{1 - 3t}}{{({t^2} + 1)\sqrt {{t^2} + 1} }};f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3}$

Lập nhanh bảng biến thiên ta thấy ngay được khi $3 < m < \sqrt {10}$ thì đường thẳng y=m và đồ thị hàm số $y = \frac{{t + 3}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }}$ cắt nhau tại 2 điểm.