Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.AMD biết S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AD=2a AB=a cạnh bên SA= và vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) M là trung điểm BC

Ta có hình vẽ như sau:

Nhận thấy tứ diện S.AMD có AMD là tam giác vuông tại M

(Do \(AM = MD = \sqrt {A{B^2} + B{M^2}} = a\sqrt 2\) mà \(AD = 2a\Rightarrow\) hệ thức pytago). Sau đây sẽ là các bước để tìm tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bước 1: Vẽ trục đường tròn của mặt phẳng đáy .

Gọi O là trung điểm của AD, suy ra O là trọng tâm của tam giác AMD.

Từ O, kẻ Ox vuông góc với (ABCD)

Bước 2: Vẽ trung trực của cạnh bên và tìm giao điểm, giao điểm đó chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Kẻ Ny vuông góc với SA, \(Ny \cap Ox = I\). Khi đó I chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.AMD.

Ta chỉ cần tính IS là được. Mà tam giác SIN vuông góc tại N

\(\Rightarrow SI = \sqrt {S{N^2} + N{I^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {a^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\)

Vậy đáp án đúng là C.