Tìm a sao cho y=1/3x^3-1/2ax^2+ax+1

Hàm số đã cho có 2 cực trị khi phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x + a = 0\) có 2 nghiệm phân biệt.

Điều này xảy ra khi: \({\Delta _{y'}} = 1 - 4a > 0 \Leftrightarrow a < \frac{1}{4}.\)

Khi đó hàm số có 2 cực trị x₁, x₂ thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 1\\ {x_1}.{x_2} = a \end{array} \right.\) 

Do x₁, x₂ là nghiệm của PT: \({x^2} - x + a = 0\) nên \(x_1^2 = {x_1} - a;x_2^2 = {x_2} - a\)

Khi đó :

\(\begin{array}{l} \left( {{x_1}^2 + {x_2} + 2a} \right)\left( {{x_2}^2 + {x_1} + 2a} \right) = \left( {{x_1} + {x_2} + a} \right)\left( {{x_1} + {x_2} + a} \right) = {\left( {a + 1} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = - 4\\ a = 2{\rm{ }} \end{array} \right.\\ \Rightarrow a = 2\,\,\left( {do\,\,a < \frac{1}{4}} \right). \end{array}\)