Với giá trị nào của m thì x=1 là điểm cực tiểu của hàm số y=1/3x^3+mx^2+(m^2+m+1)x

\(y' = {x^2} + 2mx + ({m^2} + m + 1)\)

Để hàm số đạt cực tiểu tại x=1 thì:  

\(y'(1) = 0 \Rightarrow 1 + 2m + ({m^2} + m + 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = - 1\\ m = - 2 \end{array} \right.\)

\(y'' = 2x + 2m\)

Với m=-1 ta có: y'' (1) = 0 

Với m=-2 ta có: y'' (2) = 0  

Đến đây nhiều bạn sẽ gặp sai lầm khi kết luận không tồn tại giá trị m thỏa yêu cầu bài toán.

(Xem lại Định lí 2 SGK Giải tích 12 trang 16, đó chỉ là định lý một chiều suy ra).

Khi gặp trường hợp này ta cần chuyển sang phương pháp kiểm tra bằng cách xét dấu của  như sau:

+ Với m=-1 ta có: \(y' = {x^2} - 2x + 1,\,\,y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\). Vậy với m=-1 hàm số không có cực trị.

+ Với m=-2 ta có: \(y' = {x^2} - 4x + 3,\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = 3 \end{array} \right.\) 

Ta có y’ đổi dấu từ (+) sang (-) tại x=1, vậy hàm số đạt cực đại tại x=1.

Vậy không có giá trị m nào thỏa yêu cầu bài toán.