Giải bất phương trình (9+sqrt3+11sqrt2)^x+2(5+2sqrt6)^x-2(sqrt3-sqrt2)^x < 1

Ta có:

\({\left( {9\sqrt 3 + 11\sqrt 2 } \right)^x} = {\left[ {{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}^3}} \right]^x} = {\left[ {{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}^x}} \right]^3\)

\({\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)^x} = {\left[ {{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}^2}} \right]^x} = {\left[ {{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}^x}} \right]^2}\)

\({\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)^x}{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^x} = {\left[ {\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)} \right]^x} = 1\)

Đặt \(t = {\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)^x},t > 0 \Rightarrow {\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^x} = \frac{1}{t}\) 

Khi đó bất phương trình đã cho trở thành: 

\({t^3} + 2{t^2} - \frac{2}{t} < 1 \Leftrightarrow {t^4} + 2{t^3} - t - 2 < 0 \Leftrightarrow (t - 1)(t + 2)({t^2} + t + 1) < 0.\)