Phương trình {log_3}|x^2-sqrt2x|={log_5}(x^2-sqrt2+2) có bao nhiêu nghiệm

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - \sqrt 2 x \ne 0\\ {x^2} - \sqrt 2 x + 2 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 0\\ x \ne \sqrt 2 \end{array} \right.\)

Đặt: \({\log _3}\left| {{x^2} - \sqrt 2 x} \right| = {\log _5} \left( {{x^2} - \sqrt 2 x + 2} \right) = t\)

Ta có:

\(\begin{array}{l} \left| {{x^2} - \sqrt 2 x} \right| = {3^t}\\ {x^2} - \sqrt 2 x + 2 = {5^t} \end{array}\)

Nếu \({x^2} - \sqrt 2 x > 0\) thì ta có: \({3^t} = {5^t} - 2 \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{5}} \right)^t} + 2{\left( {\frac{1}{5}} \right)^t} = 1\) (1)

Ta thấy hàm số \(f(t) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^t} + 2{\left( {\frac{1}{5}} \right)^t}\) là hàm số nghịch biến do đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất.

Dễ thấy f(t) = 1. Vậy t=0 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Ta có: \({x^2} - \sqrt 2 x = {3^0} \Leftrightarrow {x^2} - \sqrt 2 x - 1 = 0\) có hai nghiệm.

Nếu \(- 2 < {x^2} - \sqrt 2 x < 0\) thì ta có: \({3^t} = - {x^2} + \sqrt 2 x \Rightarrow {3^t} + {5^t} = 2 \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{5}} \right)^t} - 2{\left( {\frac{1}{5}} \right)^t} = - 1\,(2)\)

Lập luận tương tự (1) trên  là nghiệm duy nhất của (2).

Ta có: \(- {x^2} + \sqrt 2 x = {3^0}\) (Vô nghiệm).