Cho số phức \(z,\,{{z}_{1}},\,{{z}_{2}}\) thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}}-4-5i \right|=\left| {{z}_{2}}-1 \right|=1\) và \(\left| \overline{z}+4i \right|=\left| z-8+4i \right|\). Tính \(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\,\,\) khi \(P=\left| z-{{z}_{1}} \right|\,+\left| z-{{z}_{2}} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất

Gọi A là điểm biểu diễn của số phức \(\,{{z}_{1}}\). Suy ra A thuộc đường tròn \(\left( {{C}_{1}} \right)\,\,\,\) tâm \(\,{{I}_{1}}\left( 4;5 \right),R=1\).

Gọi B là điểm biểu diễn của số phức \(\,{{z}_{2}}\). Suy ra B thuộc đường tròn \(\left( {{C}_{2}} \right)\) tâm \(\,{{I}_{2}}\left( 1;0 \right),R=1\).

Gọi \(M\left( x;y \right)\) là điểm biểu diễn của số phức \(\,z=x+yi\)

Theo giả thiết \(\left| \overline{z}+4i \right|=\left| z-8+4i \right|\Leftrightarrow x-y=4\). Suy ra M thuộc đường thẳng \(\left( d \right)\,\,x-y-4=0\)

Gọi \(\left( {{C}_{2}}' \right)\) có tâm \(\,{{I}_{2}}'\left( 4;-3 \right),R=1\) là đường tròn đối xứng với đường tròn \(\left( {{C}_{2}} \right)\) tâm \(\,{{I}_{2}}\left( 1;0 \right),{{R}_{2}}=1\) qua đường thẳng d. Gọi B' là điểm đối xứng với đối xứng với B qua đường thẳng d. Ta có \(P=\left| z-{{z}_{1}} \right|\,+\left| z-{{z}_{2}} \right|=MA+MB=MA+MB'\ge AB'={{I}_{1}}{{I}_{2}}'-{{R}_{1}}-{{R}_{2}}=6\).

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(A,B',{{I}_{1}},{{I}_{2}}',M\) thẳng hàng. Khi đó \(\overrightarrow{{{I}_{1}}A}=\frac{1}{8}\overrightarrow{{{I}_{1}}{{I}_{2}}'}\,\,\) suy ra \(A\left( 4;4 \right)\) và \(\overrightarrow{{{I}_{2}}B'}=\frac{1}{8}\overrightarrow{{{I}_{2}}'{{I}_{1}}}\,\,\) suy ra \(B'\left( 4;-2 \right)\Rightarrow B\left( 2;0 \right). AB=2\sqrt{5}\).

Vậy \(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\,=2\sqrt{5}\,\).