Cho số phức z thoả mãn \(\frac{1+i}{z}\) là số thực và \(\left| z-2 \right|=m\) với \(m\in \mathbb{R}\). Gọi \({{m}_{0}}\) là một giá trị của m để có đúng một số phức thoả mãn bài toán. Khi đó

Giả sử \(z=a+bi, \left( a,b\in \mathbb{R} \right)\).

Đặt: \(w=\frac{1+i}{z}=\frac{1+i}{a+bi}=\frac{1}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\left[ a+b+\left( a-b \right)i \right]=\frac{a+b}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\frac{a-b}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}i\).

w là số thực nên: \(a=b\,\,\,\left( 1 \right)\).

Mặt khác: \(\left| a-2+bi \right|=m\Leftrightarrow {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}={{m}^{2}}\,\,\,\left( 2 \right)\).

Thay \(\left( 1 \right)\) vào \(\left( 2 \right)\) được: \({{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{a}^{2}}={{m}^{2}}\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}-4a+4-{{m}^{2}}=0\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\).

Để có đúng một số phức thoả mãn bài toán thì PT \(\left( 3 \right)\) phải có nghiệm a duy nhất.

\(\Leftrightarrow {\Delta }'=0\Leftrightarrow 4-2\left( 4-{{m}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}=2\Leftrightarrow m=\sqrt{2}\in \left( 1;\frac{3}{2} \right)\).

Trình bày lại

Giả sử z=a+bi, vì \(z\ne 0\) nên \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}>0\left( * \right)\).

Đặt: \(w=\frac{1+i}{z}=\frac{1+i}{a+bi}=\frac{1}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\left[ a+b+\left( a-b \right)i \right]=\frac{a+b}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\frac{a-b}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}i\).

w là số thực nên: \(a=b\,\,\,\left( 1 \right)\).Kết hợp \(\left( * \right)\) suy ra \(a=b\,\,\ne 0\)

Mặt khác: \(\left| a-2+bi \right|=m\Leftrightarrow {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}={{m}^{2}}\,\,\,\left( 2 \right)\).

Thay \(\left( 1 \right)\) vào \(\left( 2 \right)\) được: \({{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{a}^{2}}={{m}^{2}}\Leftrightarrow g\left( a \right)=2{{a}^{2}}-4a+4-{{m}^{2}}=0\,\,\,\left( 3 \right)\).

Để có đúng một số phức thoả mãn bài toán thì PT \(\left( 3 \right)\) phải có nghiệm \(a\ne 0\) duy nhất.

Có các khả năng sau :

KN1 : PT \(\,\left( 3 \right)\) có nghiệm kép \(a\ne 0\)

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l} \Delta ' = 0\\ g\left( 0 \right) \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} - 2 = 0\\ 4 - {m^2} \ne 0 \end{array} \right. \Rightarrow m = \sqrt 2 \).

KN2: PT (3) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm a = 0

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l} \Delta ' > 0\\ g\left( 0 \right) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} - 2 > 0\\ 4 - {m^2} = 0 \end{array} \right. \Rightarrow m = 2\). Từ đó suy ra \(\exists {m_0} = \sqrt 2 \in \left( {1;\,\frac{3}{2}} \right)\).