Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\), hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên. Hàm số \(g\left( x \right)=2f\left( \frac{5\sin x-1}{2} \right)+\frac{{{(5\sin x-1)}^{2}}}{4}+3\) có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng \(\left( 0;2\pi \right)\).

Ta có: \(g'\left( x \right) = 5\cos xf'\left( {\frac{{5\sin x - 1}}{2}} \right) + \frac{5}{2}\cos x\left( {5\sin x - 1} \right)\).

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 5\cos xf'\left( {\frac{{5\sin x - 1}}{2}} \right) + \frac{5}{2}\cos x\left( {5\sin x - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 0\\ f'\left( {\frac{{5\sin x - 1}}{2}} \right) = - \frac{{5\sin x - 1}}{2} \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 0\\ \frac{{5\sin x - 1}}{2} = - 3\\ \frac{{5\sin x - 1}}{2} = - 1\\ \frac{{5\sin x - 1}}{2} = \frac{1}{3}\\ \frac{{5\sin x - 1}}{2} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 0\\ 5\sin x - 1 = - 6\\ 5\sin x - 1 = - 2\\ 5\sin x - 1 = \frac{2}{3}\\ 5\sin x - 1 = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 0\\ \sin x = - 1\\ \sin x = - \frac{1}{5}\\ \sin x = \frac{1}{3}\\ \sin x = \frac{3}{5} \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 0\\ \sin x = - 1\\ \sin x = - \frac{1}{5}\\ \sin x = \frac{1}{3}\\ \sin x = \frac{3}{5} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{2} \vee x = \frac{{3\pi }}{2}\\ x = \frac{{3\pi }}{2}\\ x = \pi - arc\sin \left( { - \frac{1}{5}} \right) \vee x = 2\pi + arc\sin \left( { - \frac{1}{5}} \right)\\ x = arc\sin \left( {\frac{1}{3}} \right) \vee x = \pi - arc\sin \left( {\frac{1}{3}} \right)\\ x = arc\sin \left( {\frac{3}{5}} \right) \vee x = \pi - arc\sin \left( {\frac{3}{5}} \right) \end{array} \right.\)

Suy phương trình g'(x) = 0 có 9 nghiệm, trong đó có nghiệm \(x = \frac{{3\pi }}{2}\) là nghiệm kép.

Vậy hàm số y = g(x) có 7 cực trị.