Cho hàm số \(f(x)\) có đồ thị như hình vẽ bên.

Xét bất phương trình \(f\left( {{e^x}} \right) < m\left( {3{e^x} + 2019} \right)\) (*)

Đặt \({e^x} = t(t > 0),\) Với \(x \in (0;1) \Rightarrow t \in \left( {{e^0};{e^1}} \right) \Rightarrow t \in (1;e)\) 

Ta được bất phương trình \(f\left( t \right) < m\left( {3t + 2019} \right) \Leftrightarrow m > \frac{{f\left( t \right)}}{{3t + 2019}}(1)\) (vì \(3t + 2019 > 0\) với \(t \in (1;e))\) 

Để bất phương trình (*) có nghiệm \(x \in (0;1)\) thì bất phương trình (1) có nghiệm \(t \in (1;e).\) 

Ta xét hàm \(g\left( t \right) = \frac{{f\left( t \right)}}{{3t + 2019}}\) trên (1;e)

Ta có \(g'\left( t \right) = \frac{{f'\left( t \right)\left( {3t + 2019} \right) - 3f\left( t \right)}}{{{{\left( {3t + 2019} \right)}^2}}}\) 

Nhận xét rằng đồ thị hàm số \(y=f(t)\) có tính chất giống với đồ thị hàm số \(y=f(x)\) nên xét trên khoảng (1;e) ta thấy rằng \(f(t)<0\) và đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải hay hàm số đồng biến trên (1;e) nên \(f'\left( t \right) > 0.\) 

Từ đó \(g'\left( t \right) = \frac{{f'\left( t \right)\left( {3t + 2019} \right) - 3f\left( t \right)}}{{{{\left( {3t + 2019} \right)}^2}}} > 0\) với \(t \in (1;e)\) hay hàm số \(f(t)\) đồng biến trên (1;e).

Ta có BBT của g(t) trên [1;e]

Từ BBT ta thấy để bất phương trình \(m > \frac{{f\left( t \right)}}{{3t + 2019}}\) có nghiệm \(t \in (1;e)\) thì \(m > \mathop {\min }\limits_{[1;e]} g(t) \Leftrightarrow m >  - \frac{2}{{1011}}.\)