Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và BCD là các tam giác đều cạnh 2, hai mặt phẳng (ABD) và (ACD) vuông góc với nhau.

Các tam giác đều ABC và BCD có cạnh 2

\( \Rightarrow BD = DC = BC = AB = AC = 2\) 

Nên tam giác CAD cân tại C và  tam giác BAD cân tại B.

Lấy H là trung điểm \(AD \Rightarrow CH \bot AD\) (do tam giác CAD cân tại C)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
\left( {CAD} \right) \bot (BAD)\\
(CAD) \cap (BAD) = AD\\
CH \bot AD,BH \subset (CAD)
\end{array} \right. \Rightarrow CH \bot (BAD) \Rightarrow CH \bot BH\) (1)

Lại có \(\Delta CAD = \Delta BAD\left( {c - c - c} \right)\) nên BH = CH (2)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác CHB vuông cân tại H có cạnh huyền CB = 2.

Suy ra \(B{C^2} = B{H^2} + C{H^2} \Leftrightarrow 2B{H^2} = {2^2} \Rightarrow BH = CH = \sqrt {2.} \) 

Xét tam giác CAH vuông tại H có \(\cos ACH = \frac{{CH}}{{AC}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow ACH = {45^0}\) 

Lại thấy CH là phân giác của ACD  (vì \(\Delta CAD\) cân tại C) nên \(ACH = HCD = {45^0} \Rightarrow ACD = {90^0}\) 

Hay tam giác CAD vuông cân tại \(C \Rightarrow CH = \frac{1}{2}AD = HA = HD\) (3)

Vì \(\Delta CAD = \Delta BAD\left( {c - c - c} \right)\) nên \(\Delta ABD\) vuông cân tại \(B \Rightarrow BH = \frac{{AD}}{2} = HD = HA\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(HA = HB = HC = HD = \sqrt 2 \)hay  H là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và bán

kính mặt cầu là \(\sqrt{2}\)