Cho f(x) là hàm số bậc bốn thỏa mãn f(0)=0. Hàm số \({{f}^{\prime }}(x)\) có bảng biến thiên như sau: Hàmsố \(g(x)=\left| f\left( {{x}^{3}} \right)-2021x \right|\) có bao nhiêu điểm cực trị?

Xét hàm số \(y=f\left( {{x}^{3}} \right)-2021x=h\left( x \right)\)

\(h'\left( x \right)=3{{x}^{2}}.f'\left( {{x}^{3}} \right)-2021=0\)

\(\Leftrightarrow f'\left( {{x}^{3}} \right)=\frac{2021}{3{{x}^{2}}}\,\,\left( * \right)\) (Chỉ xét \(x\ne 0\) do x=0 không là nghiệm của phương trình)

Đặt \({{x}^{3}}=u\Rightarrow {{x}^{2}}=\sqrt[3]{{{u}^{2}}}\). \(\left( * \right)\) trở thành \(f'\left( u \right)=\frac{2021}{3\sqrt[3]{{{u}^{2}}}}\)

Số nghiệm của phương trình \(\left( * \right)\) chính là số giao điểm của ĐTHS \(y=f'\left( u \right)\) và \(y=\frac{2021}{3\sqrt[3]{{{\mathsf{u}}^{2}}}}\)

Xét hàm số \(y=t\left( u \right)=\frac{2021}{3\sqrt[3]{{{u}^{2}}}}\Rightarrow t'\left( u \right)=-\frac{4042}{9}.\frac{1}{\sqrt[3]{{{u}^{5}}}}\). Ta có BBT:

⇒ Ta có ĐTHS \(y=f'\left( u \right)\) và \(y=\frac{2021}{3\sqrt[3]{{{u}^{2}}}}\) như sau:

Dựa vào ĐTHS, ta thấy đồ thị hàm \(y=f'\left( u \right)\) và đồ thị hàm \(y=\frac{2021}{3\sqrt[3]{{{u}^{2}}}}\) có 1 giao điểm có hoành độ là a

⇒ Phương trình \(f'\left( u \right)=\frac{2021}{3\sqrt[3]{{{u}^{2}}}}\) có 1 nghiệm u=a>0

⇒ Phương trình \(\left( * \right)\) có 1 nghiệm \(x=\sqrt[3]{a}\)

⇒ Phương trình \(h'\left( x \right)=0\) có 1 nghiệm \(x=\sqrt[3]{a}\)

Ta có BBT của hàm số \(h\left( x \right)\)

(Giải thích \(\left( 1 \right) h\left( 0 \right)=f\left( 0 \right)-0=0\))

Từ BBT của hàm số \(y=h\left( x \right)\),ta thu được BBT của hàm số \(y=g\left( x \right)=\left| h\left( x \right) \right|\)

⇒ Hàm \(g\left( x \right)\) có 3 cực trị