Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều và cạnh bên SA vuông góc với đáy, với \(SA=\frac{a}{2}\). Góc tạo bởi mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) bằng \(30{}^\circ \). Thể tích của khối chóp S.ABC bằng

Gọi M là trung điểm của cạnh BC.

Ta có:

♦ \(AM\bot BC\) (do tam giác ABC đều). \(\left( 1 \right)\)

♦ \(SA\bot \left( ABC \right)\) (theo giả thiết). \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(SM\bot BC\) (theo định lí ba đường vuông góc).

Nên góc tạo bởi mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) bằng góc \(\widehat{SMA} \Rightarrow \widehat{SMA}=30{}^\circ \).

Xét tam giác vuông SMA có \(\widehat{SMA}=30{}^\circ \) và \(AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) do đó ta có \(\tan \widehat{SMA}=\frac{SA}{AM} \Rightarrow AM=\frac{SA}{\tan \widehat{SMA}} \Rightarrow AM=\frac{\frac{a}{2}}{\tan 30{}^\circ }\) nên \(AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).

Trong tam giác vuông ABM tại M ta có \(B{{M}^{2}}+A{{M}^{2}}=A{{B}^{2}}\), mà AB=2BM nên có \(B{{M}^{2}}+A{{M}^{2}}=4B{{M}^{2}} \Rightarrow 3B{{M}^{2}}=A{{M}^{2}} \Rightarrow BM=\frac{1}{\sqrt{3}}AM\) hay \(\Rightarrow BM=\frac{1}{\sqrt{3}}\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a}{2}\), do đó \(\Rightarrow BC=a\)

Diện tích tam giác ABC là \({{S}_{ABC}}= \frac{1}{2}BC.AM =\frac{1}{2}a.\frac{a\sqrt{3}}{2} =\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\).

Vậy thể tích của khối chóp S.ABC là \({{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}SA.{{S}_{ABC}} =\frac{1}{3}.\frac{a}{2}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4} =\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}\)