Có bao nhiêu số nguyên y để tồn tại số thực x thỏa mãn \({\log _3}\left( {x + 2y} \right) = {\log _2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\)

Đặt \({\log _3}\left( {x + 2y} \right) = {\log _2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = t \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + 2y = {3^t}\\ {x^2} + {y^2} = {2^t} \end{array} \right.\) (*)

Ta có \({\left( {x + 2y} \right)^2} \le \left( {1 + 4} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 5\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\) nên: \({9^t} \le {5.2^t} \Leftrightarrow {\left( {\frac{9}{2}} \right)^t} \le 5 \Leftrightarrow t \le {\log _{\frac{9}{2}}}5\).

Suy ra \({x^2} + {y^2} = {2^t} \le {2^{{{\log }_{\frac{9}{2}}}5}} \approx 2.1\).

Vì y là số nguyên nên \(y \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\).

+Với y = -1, hệ (*) trở thành \(\left\{ \begin{array}{l} x - 2 = {3^t}\\ {x^2} + 1 = {2^t} \end{array} \right. \Rightarrow {\left( {{3^t} + 2} \right)^2} + 1 = {2^t} \Leftrightarrow {9^t} + {4.3^t} - {2^t} + 5 = 0\)  (**)

Nếu t<0 thì \(2-{{2}^{t}}>0\Rightarrow {{9}^{t}}+{{4.3}^{t}}-{{2}^{t}}+5>0\).

Nếu \(t\ge 0\Rightarrow {{9}^{t}}-{{2}^{t}}\ge 0\Rightarrow {{9}^{t}}+{{4.3}^{t}}-{{2}^{t}}+5>0\).

Vậy (**) vô nghiệm.

-Với y = 0 thì hệ (*) trở thành \(\left\{ \begin{array}{l} x = {3^t}\\ {x^2} = {2^t} \end{array} \right. \Rightarrow {9^t} = {2^t} \Leftrightarrow {\left( {\frac{9}{2}} \right)^t} = 1 \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow x = 1\).

-Với y = 1 thì hệ (*) trở thành \(\left\{ \begin{array}{l} x + 2 = {3^t}\\ {x^2} + 1 = {2^t} \end{array} \right. \Rightarrow {\left( {{3^t} - 2} \right)^2} = {2^t} - 1\,\,\left( {***} \right)\).

Dễ thấy (***) luôn có ít nhất một nghiệm \(t = 0 \Rightarrow x = 0\).

Vậy có 2 giá trị nguyên của thỏa mãn là y = 0,y = 1.