Giải tích 12 Chương 2 Bài 6 Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

10 trắc nghiệm 2 bài tập SGK 39 hỏi đáp

Nội dung bài học giới thiệu đến các em những phương pháp giải bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit như đưa về cùng cơ số, mũ hóa, lôgarit hóa, đặt ẩn phụ, vận dụng tính chất hàm số. Thông những ví dụ minh họa sẽ giúp các em bước đầu biết cách giải bất phương trình mũ và lôgarit. 

Tóm tắt lý thuyết

1. Bất phương trình mũ

a) Phương pháp đưa về cùng cơ số

  • Nếu \(a>1\):
    • \(a^x>a^y\Leftrightarrow x>y\)
    • ​\(a^{f(x)}>a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)>g(x)\)
  • Nếu \(0
  • \(a^x>a^y\Leftrightarrow x
  • ​\(a^{f(x)}>a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)>g(x)\)

b) Phương pháp lôgarit hóa

  • Nếu \(a^{f(x)}>b,\ \ 0
  • \(b\leqslant 0\), tập nghiệm bất phương trình là tập xác định của f(x)
  • \(\left\{\begin{matrix} a>0\\ 0\log_a b\)
  • \(\left\{\begin{matrix} b>0\\ a>1 \end{matrix}\right. BPT \Leftrightarrow f(x)<\log_a b\)
  • Nếu \(a^{f(x)}
  •  \(\left\{\begin{matrix} b>0\\ a>1 \end{matrix}\right. \ BPT\Leftrightarrow f(x)<\log_ab\)
  • \(\left\{\begin{matrix} b>0\\ 0\log_ab\)

c) Phương pháp đặt ẩn phụ

  • Kiểu 1: Đặt 1 ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới
    • \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}+c>0\)​: Đặt \(t=m^{f(x)}\), ta có \(at^2+bt+c>0\)
    • \(a.m^{f(x)}+b.n^{f(x)}+c>0\) trong đó \(m.n=1\): Đặt \(t=m^{f(x)}\), ta có \(a.t+b.\frac{1}{t}+c>0\)\(\Leftrightarrow at^2+ct+b>0\)
    •  \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}.n^{g(x)}+c.n^{g(x)}>0\)

Chia cả 2 vế cho \(n^{2g(x)}\), ta có:

​\(a.\left [ \frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}} \right ]^2+b.\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}} +c>0\)

Đặt \(t=\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}}\), ta có \(at^2+bt+c>0\)

  • Kiểu 2: Đặt 1 ẩn nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó, xử lý phương trình theo các cách sau:
    • Đưa về bất phương trình tích.
    • Xem ẩn ban đầu như là tham số.
  • Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn. Khi đó xử lý phương trình theo các cách sau:
    • Đưa về bất phương trình tích.
    • Xem 1 ẩn là tham số.

d) Phương pháp hàm số

  • Xét hàm số \(y=a^x\):
    • Nếu \(a>1\): \(y=a^x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
    • Nếu \(0
  • Tổng của hai hàm số đồng biến (NB) trên D là hàm số đồng biến (NB) trên D.
  • Tích của hai hàm số đồng biến và nhận giá trị dương trên D là hàm số đồng biến trên D.
  • Cho hàm số \(f(x)\) và \(g(x)\), nếu:
    • \(f(x)\)đồng biến trên D.
    • \(g(x)\) ​nghịch biến trên D.

⇒ \(f(x)-g(x)\) đồng biến trên D.

2. Bất phương trình lôgarit

a) Phương pháp đưa về cùng cơ số

Với \(a>1:\) \(\log_a \ f(x) >\log_a \ g(x)\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x)>g(x)\\ g(x)>0 \end{matrix}\right.\)
Với \(0\log_a \ g(x)\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x)0 \end{matrix}\right.\)

b) Phương pháp mũ hóa

Xét bất phương trình: \(\log_a \ f(x)> b \ \ (1)\) với \(0

  • ​\(a>1 \ \ (1)\Leftrightarrow f(x)>a^b\)
  • ​\(0

c) Phương pháp đặt ẩn phụ

Các kiểu đặt ẩn phụ: 

  • Kiểu 1: Đặt 1 ẩn và đưa về phương trình theo một ẩn mới.
  • Kiểu 2: Đặt 1 ẩn và không làm mất ẩn ban đầu.
    • Xem ẩn ban đầu là tham số
    • Bất phương trình tích
  • Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn

d) Phương pháp hàm số

Các nội dung cần nhớ:

  • Xét hàm số \(y = {\log _a}x\,(0 < a \ne 1):\)
    • \(a>1, y =\log_a x\) đồng biến trên \((0;+\infty )\).
    • ​\(0
  • Xét hai hàm số \(f(x)\) và \(g(x):\)
    • Nếu \(f(x)\) và \(g(x)\) là hai hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập D thì \(f(x)+g(x)\) là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập D.
    • Nếu \(f(x)\) và \(g(x)\) là hai hàm số đồng biến trên tập D và \(f(x).g(x)>0\) thì \(f(x).g(x)\) là hàm số đồng biến trên tập D.
    • Nếu \(f(x)\) đồng biến trên D, \(g(x)\) nghịch biến trên D:
      • \(f(x)-g(x)\) đồng biến trên D.
      • \(f(x)-g(x)\) nghịch biến trên D.

Bài tập minh họa

1. Bất phương trình mũ

Ví dụ 1:

Giải bất phương trình  \({\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x - 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 - 2} \right)^{ - {x^2} + 3}}.\)

Lời giải:

Ta có: \(\left( {\sqrt 5 + 2} \right)\left( {\sqrt 5 - 2} \right) = 1 \Leftrightarrow \sqrt 5 - 2 = \frac{1}{{\sqrt 5 + 2}} = {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{ - 1}}\)

Vậy: \({\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x - 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 - 2} \right)^{ - {x^2} + 3}}\) \(\Leftrightarrow {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x - 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{{x^2} - 3}} \Leftrightarrow x - 1 \ge {x^2} - 3\)

\(\Leftrightarrow {x^2} - x - 2 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 2\)

Vậy BPT có tập nghiệm \(S = \left[ { - 1;2} \right]\)

Ví dụ 2:

Giải bất phương trình \({2^{{x^2} - 4}} \ge {5^{x - 2}}.\)

Lời giải: 

Lấy logarit cơ số 2 hai vế của bất phương trình đã cho ta có: 

\({\log _2}\left( {{2^{{x^2} - 4}}} \right) \ge {\log _2}\left( {{5^{x - 2}}} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 4 \ge \left( {x - 2} \right){\log _2}5\)

\(\Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2 - {{\log }_2}5} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \ge 2\\ x \le {\log _2}5 - 2 \end{array} \right.\)

Vậy BPT có tập nghiệm \(S = \left( { - \infty ;{{\log }_2}5 - 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right).\)

Ví dụ 3:

Giải bất phương trình \({{\rm{3}}^{{\rm{2x + 1}}}} - {10.3^x} + 3 \le 0\).

Lời giải:

\({{\rm{3}}^{{\rm{2x + 1}}}} - {10.3^x} + 3 \le 0{\rm{ }}\) \(\Leftrightarrow 3.{\left( {{3^x}} \right)^2} - {10.3^x} + 3 \le 0\)(1)

Đặt \(t = {3^x} > 0\).

Ta có: (1) \(\Leftrightarrow 3{t^2} - 10t + 3 \le 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le t \le 3\)\(\Leftrightarrow \frac{1}{3} \le {3^x} \le 3 \Leftrightarrow {3^{ - 1}} \le {3^x} \le {3^1} \Leftrightarrow - 1 \le x \le 1\)

Vậy bất phương trình có nghiệm: \(S = \left[ { - 1;1} \right].\)

Ví dụ 4: 

Giải bất phương trình  \({3^x} + {4^x} > {5^x}.\)

Lời giải:

Chia 2 vế của phương trình cho ta được:

\({3^x} + {4^x} > {5^x} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x} > 1.\)

Xét hàm số: \(f(x) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x},\) TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)  

\(f'(x) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x}.\ln \left( {\frac{3}{5}} \right) + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x}.\ln \left( {\frac{4}{5}} \right) < 0,\forall x \in\mathbb{R}\)

Suy ra hàm số f(x) nghịch biến trên R.

Mặt khác: \(f(2) = 1 \Rightarrow f(x) > 1 \Leftrightarrow x < 2\) 

Vậy BPT có tập nghiệm là \(S = \left( { - \infty ;2} \right).\)

2. Bất phương trình lôgarit

Ví dụ 5:

Giải bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right) \le 2 - {\log _2}5.\)

Lời giải:

\({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right) \le 2 - {\log _2}5 \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right) \le {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{1}{4} + {\log _{\frac{1}{2}}}5\)

\(\Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right) \le {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{5}{4}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - x - \frac{3}{4} \ge \frac{5}{4} \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \le - 1\\ x \ge 2 \end{array} \right. \end{array}\)

Vậy tập nghiệm bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).

Ví dụ 6: 

Giải bất phương trình \({\log _2}\left( {1 - {{\log }_9}x} \right) < 1.\)

Lời giải: 

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ 1 - 2{\log _9}x > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 3 > x > 0\)  

Khi đó: \({\log _2}(1 - 2{\log _9}x) < 1 \Leftrightarrow 1 - 2{\log _9}x < 2 \Leftrightarrow {\log _9}x > - \frac{1}{2} \Leftrightarrow x > \frac{1}{3}\)

Kết hợp với điều kiện ta được \(S = \left( {\frac{1}{3};3} \right)\) là tập nghiệm của bất phương trình.

Ví dụ 7: 

Giải bất phương trình \(\log _2^2x - 5{\log _2}x - 6 \le 0.\)

Lời giải:

Đặt \(t = {\log _2}x,\) khi đó phương trình trở thành:

\(\begin{array}{l} {t^2} - 5t - 6 \le 0\\ \Leftrightarrow (t + 1)(t - 6) \le 0\\ \Leftrightarrow - 1 \le t \le 6 \end{array}\)

Do đó ta có:

\(\begin{array}{l} - 1 \le {\log _2}x \le 6\\ \Rightarrow {\log _2}\frac{1}{2} \le {\log _2}x \le {\log _2}64\\ \Rightarrow \frac{1}{2} \le x \le 64 \end{array}\)

Vậy tập nghiệm bất phương trình là \(S = \left[ {\frac{1}{2};64} \right].\)

Ví dụ 8:

Giải bất phương trình  \(x + {\log _3}\left( {x + 1} \right) > 3.\) 

Lời giải:

ĐK: \(x>1\)

Xét hàm số \(f(x) = x + {\log _3}(x + 1)\) trên \(\left( { - 1; + \infty } \right).\) 

Ta có \(f'(x) = 1 + \frac{1}{{(x + 1)\ln 3}} > 0\) 

\(\Rightarrow f(x)\) đồng biến trên \(\left( { - 1; + \infty } \right).\)   

Mặt khác \(f(2) = 3\) 

Do đó: \(f(x) > 3 \Rightarrow f(x) > f(2) \Rightarrow x > 2\)  

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left( {2; + \infty } \right).\)

Lời kết

Trong phạm vi bài học đã có thể giới thiệu đến các em một số phương pháp giải Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit cùng những ví dụ minh họa.

Để cũng cố bài học, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Giải tích 12 Chương 2 Bài 6 với những câu hỏi củng cố bám sát nội dung bài học. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi đáp Giải tích 12 Chương 2 Bài 6, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm giải đáp cho các em.

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Giải tích 12 Chương 2 Bài 6 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.

-- Mod Toán Học 12 HỌC247