Cho hình chóp tam giác đều cạnh đáy bằng a và các mặt bên đều tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 độ

 Gọi hình chóp tam giác đó là S.ABC kẻ \(SH \bot \left( {ABC} \right)\) tại H.

Gọi A', B', C' lần lượt là chân đường cao hạ từ H xuống BC, CA, AB.

Xét \(\Delta SHA',{\rm{ }}\Delta SHB',{\rm{ }}\Delta SHC'\) đều vuông tại H có SH chung

\(\widehat {SB'H} = \widehat {SC'H} = \widehat {SA'H} = {60^0} \Rightarrow \widehat {HSC'} = \widehat {HSA'} = \widehat {HSB'}\)

\(\Rightarrow \Delta SHA' = \Delta SHB' = \Delta SHC'{\rm{ }}\left( {g - g - g} \right) \Rightarrow HA' = HB' = HC'.\)

Do đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Tam giác ABC đều cạnh \(a \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{a^2} = \frac{{AB + BC + CA}}{2}.HA'\)

\(\Rightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{4}{a^2} = \frac{{3a}}{2}HA' \Rightarrow HA' = \frac{{\sqrt 3 }}{6}a.\)                  

Tam giác SHA' vuông tại H và \(\widehat {HA'S} = {60^0} \Rightarrow SH = HA'.\tan 60 = \frac{a}{2}.\)

Thể tích \(V = \frac{1}{3}SH.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{a}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4}{a^2} = \frac{{\sqrt 3 }}{{24}}{a^3}.\)