Cho ba điểm A(1;-1;1) B(2;1;-2) C(0;0;1) gọi H(x;y;z) là trực tâm tam giác ABC

\(\overrightarrow {AB} = \left( {1;2; - 3} \right);\overrightarrow {BC} = \left( { - 2; - 1;3} \right);\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;1;0} \right)\)

 \(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {3;3;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( {ABC} \right)}}} = \left( {1;1;1} \right)\) là VTPT của mặt phẳng (ABC).

Mặt khác (ABC) đi qua A nên có phương trình:  \(\left( {ABC} \right):x + y + z - 1 = 0.\)

\(\overrightarrow {AH} = \left( {x - 1;y + 1;z - 1} \right);\overrightarrow {BH} = \left( {x - 2;y - 1;z + 2} \right);\overrightarrow {CH} = \left( {x;y;z - 1} \right)\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0}\\ {\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0} \end{array}}\\ {H \in \left( {ABC} \right)} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2x - y + 3z = 2}\\ { - x + y = - 1} \end{array}}\\ {x + y + z - 1 = 0} \end{array}} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{5}{9};\frac{{ - 4}}{9};\frac{8}{9}} \right).\)