Cho mặt phẳng (P): 2x + 3y + z - 11 = 0 tiếp xúc với mặt cầu (S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 8 = 0 tìm tiếp điểm M

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_p}} = \left( {2;3;1} \right).\) 

Mặt cầu (S) có tâm I(1;-2;1)

Đường thẳng d đi qua điểm I(1;-2;1) và vuông góc với mặt phẳng (P) nên nhận \(\overrightarrow {{n_p}} = \left( {2;3;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = - 2 + 3t\\ z = 1 + t \end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)

M là giao điểm của d và (P) nên tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = - 2 + 3t\\ z = 1 + t\\ 2{\rm{x}} + 3y + z - 11 = 0 \end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = - 2 + 3t\\ z = 1 + t\\ 2\left( {1 + 2t} \right) + 3\left( { - 2 + 3t} \right) + \left( {1 + t} \right) - 11 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 3\\ y = 1\\ z = 2\\ t = 1 \end{array} \right.\)

Vậy \(M\left( {3;1;2} \right).\)