Phương pháp giải bài toán đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1, 2, 3, 4 điểm phân biệt

Cho đồ thị  và trục Ox.

• Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox: f(x) = 0

• Số giao điểm của đồ thị (C) với trục Ox chính là số nghiệm của phương trình: f(x) = 0.

• Giải và biện luận phương trình f(x) = 0

Ví dụ 1 : Định m để  đồ thị  của hàm số \(y={{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+2m\) cắt trục Ox tại điểm duy nhất.

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định \(D=\mathbb{R}\)

Ta có: \({{y}^{\prime }}=3{{x}^{2}}-2mx=x(3x-2m)\)

Khi m = 0 thì \({{y}^{\prime }}=3{{x}^{2}}\ge 0\)\(\Rightarrow \) hàm số  đồng biến trên \(\mathbb{R}\) \(\Rightarrow \) thoả yêu cầu bài toán.

Khi \(m\ne 0\) thì hàm số cho có 2 cực trị \({{x}_{1}}=0\,\,,\,\,{{x}_{2}}=\frac{2m}{3}\).

Do đó đồ thị cắt Ox tại duy nhất 1 điểm khi \(y({{x}_{1}}).y\left( {{x}_{2}} \right)>0\)\(\Leftrightarrow 2m\left( 2m-\frac{4{{m}^{3}}}{27} \right)>0\)

\(\Leftrightarrow 4{m^2}\left( {1 - \frac{{2{m^2}}}{{27}}} \right) > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ - \frac{{3\sqrt 6 }}{2} < m < \frac{{3\sqrt 6 }}{2} \end{array} \right.\)

Vậy, với khi \(m\in \left( -\frac{3\sqrt{6}}{2};\frac{3\sqrt{6}}{2} \right)\) thì đồ thị của hàm số  cắt Ox tại  điểm duy nhất.

Ví dụ 2 : Định m để  đồ thị  của hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{m}^{2}}x+2m\) tiếp xúc trục Ox tại hai điểm phân biệt.

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định \(D=\mathbb{R}\)

Để đồ thị của hàm số tiếp xúc  trục hoành hai điểm phân biệt thì đồ thị của hàm số phải có 2 điểm cực trị ⇒ \(y{{\,}^{\prime }}=0\) có 2 nghiệm phân biệt, tức là \(3{{x}^{2}}-3{{m}^{2}}=0\) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ \(m\ne 0\)

Với \(m\ne 0\) thì \(y'=0\) có 2 nghiệm \(x=\pm m\) và \(y(-m)=2{{m}^{3}}+2m,\)\(y(m)=-2{{m}^{3}}+2m\)

Đồ thị của hàm số tiếp xúc trục Ox tại hai điểm phân biệt \(\Leftrightarrow y(-m)=0\) hoặc \(y(m)=0\).

Với \(y(-m)=0\Leftrightarrow 2{{m}^{3}}+2m=0\Leftrightarrow m=0\) (loại)

Với \(y(m)=0\Leftrightarrow -2{{m}^{3}}+2m=0\Leftrightarrow m=0\) hoặc \(m=\pm 1\)

Vậy, với  \(m=\pm 1\)thỏa mãn bài toán.

Ví dụ 3: Định m để  đồ thị  của hàm số \(y=-{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}-m\) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt.

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định \(D=\mathbb{R}\)

Đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt khi đồ thị của hàm số có hai cực trị đồng thời hai giá trị cực trị trái dấu.

Ta có: \(y'=-3{{x}^{2}}+2mx\) và \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y = - m\\ x = \frac{{2m}}{3} \Rightarrow y = \frac{4}{{27}}{m^3} - m \end{array} \right.\)

Hàm số có hai cực trị\(\Leftrightarrow \)\(m\ne 0\)

Hai giá trị cực trị trái dấu\(\Leftrightarrow y(0).y\left( \frac{2m}{3} \right)<0\Leftrightarrow \left( -m \right).\left( \frac{4}{27}{{m}^{3}}-m \right)<0\)

\(\Leftrightarrow {{m}^{2}}.(4{{m}^{2}}-27)>0\)\(\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-27>0\,\,\,(m\ne 0)\Leftrightarrow \left| m \right|>\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

Vậy, với \(\left| m \right|>\frac{3\sqrt{3}}{2}\) đồ thị  của hàm số  cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt

Ví dụ 4 : Định m để  đồ thị của hàm số  \(y={{x}^{4}}-m{{x}^{2}}+m-1\) cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt.

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định \(D=\mathbb{R}\)

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với trục Ox : \({{x}^{4}}-m{{x}^{2}}+m-1=0\)  (1)

Đặt \(t={{x}^{2}},\,\,t\ge 0\), khi đó: (1) ⇔ \({{t}^{2}}-mt+m-1=0\) (2) ⇔ t=1 hoặc t=m-1

Đồ thị của hàm số  cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt khi (1) có 4 nghiệm phân biệt

⇔  (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

⇔ \(0

Ví dụ 5: Tìm \(m\) để đường thẳng \(\text{y }=\text{ mx }+\text{1}\) cắt đồ thị \(\left( \text{C} \right)\): \(y=-2{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}+1\) tại ba điểm phân biệt \(\text{A},\) \(\text{B},\text{C}\) sao cho  \(\text{A}\left( 0;\text{1} \right)\) và \(\text{B}\) là trung điểm của \(\text{AC}\).

 

Lời giải.

Đường thẳng \(\text{y }=\text{ mx }+\text{1}\) cắt \(\left( \text{C} \right)\) tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình  \(-2{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}+1=mx+1\)có ba điểm phân biệt \(\Leftrightarrow x\left( 2{{x}^{2}}-6x+m \right)=0\) có ba nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-6x+m=0\) có hai nghiệm phân biệt \(x\ne 0\text{   }\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta ' > 0\\ {2.0^2} - 6.0 + m \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 9 - 2m > 0\\ m \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < \frac{9}{2}\\ m \ne 0 \end{array} \right.\)

Với điều kiện \(\left( * \right)\) thì đường thẳng \(\text{y }=\text{ mx }+\text{1}\) cắt đồ thị \(\left( \text{C} \right)\) ba điểm phân biệt \(\text{A}\left( 0;\text{1} \right)\), \(\text{B},\text{C}\).

Vì \(\text{B}\) là trung điểm của \(\text{AC}\) nên có: \(\left\{ \begin{array}{l} {x_2} = 2{x_1}\\ \frac{{m{x_2} + 1 + 1}}{2} = m{x_1} + 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow {x_2} = 2{x_1}\) (1)

Theo định lý Vi – et , ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 3\\ {x_1}.{x_2} = \frac{m}{2} \end{array} \right.\) (2)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(m=4\)

Bài 1:

1. Cho hàm số \(y={{x}^{3}}+mx+2\). Tìm \(m\) để đồ thị của hàm số  cắt trục hoành tại điểm duy nhất .

2. Cho hàm số \(y=2{{x}^{3}}-3(m+1){{x}^{2}}+6mx-2\). Tìm \(m\) để đồ thị của hàm số  cắt trục hoành tại điểm duy nhất .

Bài 2:

1. Định m để  đồ thị  của hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-\text{(}2m-1)x+4m+2\) tiếp xúc  trục Ox tại hai điểm phân biệt.

2. Cho hàm số \(y={{x}^{4}}-2{{m}^{2}}{{x}^{2}}+{{m}^{4}}+2m\). Chứng minh đồ thị của hàm số  luôn cắt trục Ox tại ít nhất hai điểm phân biệt, với mọi \(m<0\).

Bài 3: Tìm \(m\in \mathbb{R}\) để:

1. Hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{m}^{2}}x+2m\)có đồ thị là  \(\left( {{C}_{m}} \right)\)tiếp xúc \(Ox\) tại đúng \(2\) điểm phân biệt.

Bài 4: Gọi \(\left( {{\text{C}}_{\text{m}}} \right)\)là đồ thị của hàm số \(\text{y}={{x}^{4}}-2(m+1){{x}^{2}}+{{m}^{2}}-3m\). Tìm m để \(\left( {{\text{C}}_{\text{m}}} \right)\) và trục hoành:

1. Có 4 điểm chung phân biệt.

2. Có 3 điểm chung.

3. Có hai điểm chung

4. Không có điểm chung.

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp giải bài toán đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1, 2, 3, 4 điểm phân biệt. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp giải bài toán đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2, 3, 4 điểm phân biệt thỏa mãn hoành độ cho trước

• Bài toán: đồ thị cắt trục hoành tạo 3, 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng, cấp số nhân

Chúc các em học tập tốt!