Phương pháp giải bài toán đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2, 3, 4 điểm phân biệt thỏa mãn hoành độ cho trước

Cho đồ thị hàm số (C): y = f(x) và trục hoành Ox

• Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox: f(x) = 0 (1)

• Số giao điểm của (C) và Ox là số nghiệm của (1)

• Tìm điều kiện để (1) có 2, 3, 4 nghiệm

• Tìm điều kiện thõa mãn của nghiệm bằng cách sử dụng định lí Vi – et

Ví dụ 1 : Cho hàm số \(y={{x}^{3}}+2\left( m-1 \right){{x}^{2}}-\left( {{m}^{2}}+4m+1 \right)x+2\left( {{m}^{2}}+1 \right)\), có đồ thị là \(\left( {{C}_{m}} \right)\). Tìm \(m\) để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3.

Lời giải.

Số giao điểm của đồ thị đã cho  với trục hoành là số nghiệm của phương trình :

\({{x}^{3}}+2\left( m-1 \right){{x}^{2}}-\left( {{m}^{2}}+4m+1 \right)x+2\left( {{m}^{2}}+1 \right)=0\)\(\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left[ {{x}^{2}}+2mx-\left( {{m}^{2}}+1 \right) \right]=0\)\(\left( * \right)\) \(\Leftrightarrow x=2\) hoặc \(f(x)={{x}^{2}}+2mx-{{m}^{2}}-1=0\)

Để đồ thị đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn \(3\) khi và chỉ khi phương trình \(\left( * \right)\) có 3 nghiệm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn \(3\) tức là phải có \(f(x)=0\) có \(2\) nghiệm phân biệt khác \(2\) và có hoành độ  nhỏ hơn \(3\).

\(f(x)=0\) có 2 nghiệm phân biệt khác 2 \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(2) \ne 0\\ \Delta ' > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {m^2} + 4m + 3 \ne 0\\ 2{m^2} + 1 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m \ne 2 \pm \sqrt 7 \)

Với \(m\ne 2\pm \sqrt{7}\) thì \(f(x)=0\) có hai nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) thỏa \({{x}_{1}}<{{x}_{2}}<3\)

Nên có hệ : \(\left\{ \begin{array}{l} \left( {3 - {x_1}} \right)\left( {3 - {x_2}} \right) > 0\\ \left( {3 - {x_1}} \right) + \left( {3 - {x_2}} \right) < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_1}{x_2} - 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 9 > 0\\ {x_1} + {x_2} < 6 \end{array} \right.\)

Theo định lý viét, ta có \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1}{x_2} = - {m^2} - 1\\ {x_1} + {x_2} = - 2m \end{array} \right.\)

Do đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l} - {m^2} - 1 - 3\left( { - 2m} \right) + 9 > 0\\ - 2m < 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} - 6m - 8 < 0\\ m > - 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3 - \sqrt {17} < m < 3 + \sqrt {17} \\ m > - 3 \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \) \(3-\sqrt{17}\) < m < \(3+\sqrt{17}\). 

Đối chiếu điều kiện \(m\ne 2\pm \sqrt{7}\), thu được \(m\in \left( 3-\sqrt{17};3+\sqrt{17} \right)\backslash \left\{ 2\pm \sqrt{7} \right\}\)

Vậy, với \(m\in \left( 3-\sqrt{17};3+\sqrt{17} \right)\backslash \left\{ 2\pm \sqrt{7} \right\}\) thỏa đề bài.

Ví dụ 2 :  Cho hàm số  \(y={{x}^{4}}-2(m+1){{x}^{2}}+2m+1\),tìm \(m\) để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn \(\sqrt{3}\)

Lời giải.

Số giao điểm của đồ thị đã cho  với trục hoành là số nghiệm của phương trình :

\({{x}^{4}}-2(m+1){{x}^{2}}+2m+1=0\) \(\left( 1 \right)\)

Đặt \(t={{x}^{2}},t\ge 0\) thì \(\left( 1 \right)\) trở thành: \(f(t)={{t}^{2}}-2(m+1)t+2m+1=0\).

Đồ thị của hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn \(\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow f\left( t \right)\) có 2 nghiệm phân biệt \({{t}_{1}},\,\,{{t}_{2}}\) sao cho:

\(\left[ \begin{array}{l} 0 = {t_1} < {t_2} < 3\\ 0 < {t_1} < 3 \le {t_2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\Delta ^\prime } = {m^2} > 0\\ f(0) = 2m + 1 = 0\\ S = 2(m + 1) < 3 \end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l} {\Delta ^\prime } = {m^2} > 0\\ f(3) = 4 - 4m \le 0\\ S = 2(m + 1) > 0\\ P = 2m + 1 > 0 \end{array} \right.\), nghĩa là phải có: \(m=-\frac{1}{2}\) hoặc \(m\ge 1\)

Vậy, với \(m=-\frac{1}{2}\) hoặc \(m\ge 1\) thỏa mãn bài toán.

Ví dụ 3 : Định m để  đồ thị của  hàm số \(y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}-x+m+\frac{2}{3}\,\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ \({{\text{x}}_{\text{1}}},\text{ }{{\text{x}}_{\text{2}}},\text{ }{{\text{x}}_{\text{3}}}\) thỏa mãn \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}>15\)

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định \(D=\mathbb{R}\)

Phương trình hoành độ giao điểm:  \(\frac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}-x+m+\frac{2}{3}=0\)

\(\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}-3x+3m+2=0\)\(\Leftrightarrow (x-1)\left[ {{x}^{2}}+\left( 1-3m \right)x-3m-2 \right]=0\,\,\,\,\,\,\,(1)\)

\(\Leftrightarrow x=1\) hoặc \(g(x)={{x}^{2}}+(1-3m)x-3m-2=0\,\,\,\,\,(2)\)

Đồ thị của  hàm số  cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt \(\Leftrightarrow \)(1) có ba nghiệm phân biệt\(\Leftrightarrow \)(2) có hai ngiệm phân biệt khác 1, tức  phải có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l} \Delta = {(1 - 3m)^2} + 4(3m + 2) > 0\\ g(1) = - 6m \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3{m^2} + 2m + 3 > 0,\forall m\\ m \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m \ne 0\,\,(a)\)

Giả sử \({{\text{x}}_{\text{3}}}=\text{ 1};~{{\text{x}}_{\text{1}}},\text{ }{{\text{x}}_{\text{2}}}\)là nghiệm của (2). Ta có: \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3m-1;\,\,\,{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-3m-2\).

Khi đó: \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}>15\Leftrightarrow {{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1>15\) \(\Leftrightarrow {{(3m-1)}^{2}}+2(3m+2)-14>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-1>0\Leftrightarrow m<-1\vee m>1\,\,\,(b)\)

Từ (a) và (b) ta có gía trị cần tìm là: \(m<-1\) hoặc \(m>1\).

Ví dụ 4. Hàm số \(y={{x}^{3}}-2(m+1){{x}^{2}}+(5m-2)x-2m+4\)  (1), \(m\) là tham số . Gọi \(({{C}_{m}})\) là đồ thị của hàm số (1). Tìm \(m\) để \(({{C}_{m}})\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt \(\text{A},\text{B},\text{C}\) sao cho :

1. \(\text{A}\) là trung điểm của đoạn \(\text{BC}\)

2. \(\text{B},\text{C}\) có hoành độ nhỏ hơn \(\text{1}\).

3. \(\text{BC}\) có độ dài nhỏ nhất.

Lời giải.

Phương trình hoành độ giao điểm của \(({{C}_{m}})\) và Ox.

\(\,\,\,\,\,\,\,{{x}^{3}}-2(m+1){{x}^{2}}+(5m-2)x-2m+4=0\,\,\,(*)\Leftrightarrow (x-2)({{x}^{2}}-2mx+m-2)=0\)\(\Leftrightarrow x=2,\mathsf{ }g(x)={{x}^{2}}-2mx+m-2=0\)

 \(({{C}_{m}})\) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt \(\text{A},\text{B},\text{C}\) \(\Leftrightarrow \)Phương trình \(\,(*)\) có ba nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \)phương trình \(g(x)=0\) có hai nghiệm phân biệt khác 2.

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta _g' > 0\\ g(2) \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} - m + 2 = {\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} > 0\\ 4 - 4m + m - 2 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \forall m \in R\\ m \ne \frac{2}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow m \ne \frac{2}{3}\,.\)

1. \(\text{A}\) là trung điểm của đoạn \(\text{BC}\)

Vì ba điểm \(\text{A},\text{B},\text{C}\) thuộc trục hoành do đó \(\text{A}\) là trung điểm của \(\text{BC}\) \(\Leftrightarrow {{x}_{A}}=\frac{{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{2}\Leftrightarrow 2=\frac{2m}{2}\Leftrightarrow m=2\)  (thỏa mãn điều kiện \(m\ne \frac{2}{3}\)).

2. \(\text{B},\text{C}\) có hoành độ nhỏ hơn \(\text{1}\).

Gọi \({{\text{x}}_{1}},{{x}_{2}}\) là hoành độ của \(\text{B},\text{C}\), cũng là nghiệm phương trình \(g(x)=0\)

Theo bài toán, ta có: \(\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l} {x_1} < 1\\ {x_2} < 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_1} - 1 < 0\\ {x_2} - 1 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_1} - 1 + {x_2} - 1 < 0\\ ({x_1} - 1)({x_2} - 1) > 0 \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} < 2\\ {x_1}{x_2} - ({x_1} + {x_2}) + 1 > 0 \end{array} \right.\,\,\)  \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2m < 2\\ m - 2 - 2m + 1 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 1\\ m < - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow m < - 1\)

Vậy, \(m<-1\) là giá trị cần tìm.

Cách khác:

Hai nghiệm của \(g(x)=0\) là \({{\text{x}}_{\text{1}}}=m-\sqrt{{{m}^{2}}-m+2}\,\,,\,\,{{x}_{2}}=m+\sqrt{{{m}^{2}}-m+2}\).

Vì \({{\text{x}}_{\text{1}}}<{{\text{x}}_{\text{2}}}\) nên \(\,\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}<1 \\ & {{x}_{2}}<1 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow {{x}_{2}}<1\Leftrightarrow m+\sqrt{{{m}^{2}}-m+2}<1\Leftrightarrow \sqrt{{{m}^{2}}-m+2}<1-m\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} - m + 2 \ge 0\,\\ 1 - m > 0\\ {m^2} - m + 2 < {m^2} - 2m + 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \forall m \in R\\ m < 1\\ m < - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow m < - 1.\)

3. \(\text{BC}\) có độ dài nhỏ nhất.

\(BC=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=2\sqrt{{{m}^{2}}-m+2}=2\sqrt{{{\left( m-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{7}{4}}\ge \sqrt{7}.\)

\(BC=\sqrt{7}\Leftrightarrow m-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\) (thỏa điều kiện  \(m\ne \frac{2}{3}\)).

Chú ý. Ta cũng có thể dùng định lí Vi-et để tính BC như sau

\(B{{C}^{2}}={{\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|}^{2}}={{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}=4{{m}^{2}}-4(m-2)=4({{m}^{2}}-m+2)\).

Bài 1. Cho hàm số  \(y={{x}^{4}}-2\left( m+1 \right){{x}^{2}}+2m+1\) có đồ thị là \(\left( {{C}_{m}} \right)\), \(m\) là tham số. Tìm \(m\)để đồ thị \(\left( {{C}_{m}} \right)\) cắt trục hoành tại \(3\) điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn \(3\).

Bài 2. Cho hàm số \(y={{x}^{4}}+2m{{x}^{2}}+m+3\),xác định m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ thoả mãn \({{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}<1<2<{{x}_{4}}\).

Bài 3. Cho hàm số y = \({{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+(m-2)x+m+2\) ( m là tham số ) (1).Gọi \(\left( {{\text{C}}_{\text{m}}} \right)\)là đồ thị của hàm số (1). Tìm m để

1. \(\left( {{\text{C}}_{\text{m}}} \right)\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt .

2. \(\left( {{\text{C}}_{\text{m}}} \right)\)cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt trong đó có hai điểm có hoành độ dương.

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp giải bài toán đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2, 3, 4 điểm phân biệt thỏa mãn hoành độ cho trước. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp giải bài toán đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1, 2, 3, 4 điểm phân biệt

• Bài toán: đồ thị cắt trục hoành tạo 3, 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng, cấp số nhân

Chúc các em học tập tốt!