Một số bài tập tính tỉ số (khối lượng) nhân con và số hạt (khối lượng) nhân mẹ trong phóng xạ

TỈ SỐ (KHỐI LƯỢNG) NHÂN CON VÀ SỐ HẠT (KHỐI LƯỢNG) NHÂN MẸ CÒN LẠI

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {N_{me}} = {N_0}{e^{ - \lambda t}}\\ {N_{con}} = \Delta N = {N_0}\left( {1 - {e^{ - \lambda t}}} \right) \end{array} \right.\\ \Rightarrow \frac{{{N_{con}}}}{{{N_{me}}}} = \left( {{e^{\frac{{\ln 2}}{T}t}} - 1} \right)\\ \Rightarrow \frac{{{m_{con}}}}{{{m_{me}}}} = \frac{{{A_{con}}}}{{{A_{me}}}}.\frac{{{N_{con}}}}{{{N_{me}}}} = \frac{{{A_{con}}}}{{{A_{me}}}}\left( {{e^{\frac{{\ln 2}}{T}}} - 1} \right) \end{array}\)

Ví dụ 1: Hạt nhân Na24 phân rã β-  với chu kỳ bán rã là 15 giờ, tạo thành hạt nhân X. Sau thời gian bao lâu một mẫu chất phóng xạ Na24 nguyên chất sẽ có tỉ số số nguyên tử của X và của Na có trong mẫu bằng 0,75?

A. 24,2 h.                                 B. 12,1 h.                   

C. 8,6 h.                                  D. 10,1 h.

Hướng dẫn

\(\begin{array}{l} \frac{{{N_x}}}{{{N_{Na}}}} = {e^{\frac{{\ln 2}}{T}}} - 1\\ \Rightarrow 0,75 = {e^{\frac{{\ln 2}}{{15}}t}} - 1\\ \Rightarrow t \approx 12,1\left( h \right) \end{array}\)

Chọn B.

Ví dụ 2: Tính chu kì bán rã T của một chất phóng xạ, cho biết tại thời điểm t1, tỉ số giữa hạt con và hạt mẹ là 7, tại thời điểm t2 = t1 + 26,7 ngày, tỉ số đó là 63.

A. 16 ngày.                 B. 8,9 ngày.                

C. 12 ngày.                 D. 53 ngày.

Hướng dẫn

\(\begin{array}{l} \frac{{{N_{con}}}}{{{N_{me}}}} = \left( {{e^{\frac{{\ln 2}}{T}t}} - 1} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {\frac{{{N_{_{con}}}}}{{{N_{me}}}}} \right)_{{t_1}}} = \left( {{e^{\frac{{\ln 2}}{T}{t_1}}} - 1} \right) = 7\\ {\left( {\frac{{{N_{con}}}}{{{N_{me}}}}} \right)_{{t_2}}} = \left( {{e^{\frac{{\ln 2}}{T}\left( {{t_1} + 26,7} \right)}} - 1} \right) = \left( {{e^{\frac{{\ln 2}}{T}.26,7}}{e^{\frac{{\ln 2}}{T}{t_1}}} - 1} \right) = 63 \end{array} \right.\\ \Rightarrow {e^{\frac{{\ln 2}}{T}{t_1}}} = 8\,\\ \Rightarrow {e^{\frac{{\ln 2}}{T}.26,7}} = 8\\ \Rightarrow T = 8,9\,\,ngay \end{array}\)

Chọn B.

Ví dụ 3: (ĐH−2011): Chất phóng xạ pôlôni \(_{84}^{210}Po\) phát ra tia α và biến đổi thành chì \(_{82}^{206}Pb\) . Cho chu kì bán rã của \(_{84}^{210}Po\) là 138 ngày. Ban đầu (t = 0) có một mẫu pôlôni nguyên chất. Tại thời điểm t1, tỉ số giữa số hạt nhân pôlôni và số hạt nhân chì trong mẫu là 1/3. Tại thời điểm t2 = t1 + 276 ngày, tỉ số giữa số hạt nhân pôlôni và số hạt nhân chì trong mẫu là

A. 1/15.                       B. 1/16.                                  

C. 1/9.                         D. 1/25.

Hướng dẫn

Đến thời điểm t, số hạt nhân Po210 còn lại và số hạt nhân chì Pb208 tạo thành lần lượt là:    

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {N_{P0}} = {N_0}{e^{^{ - \frac{{\ln 2}}{T}t}}}\\ {N_{Pb}} = \Delta N = {N_0}\left( {1 - {e^{ - \frac{{\ln 2}}{T}t}}} \right) \end{array} \right.\\ \Rightarrow \frac{{{N_{Pb}}}}{{{N_{P0}}}} = {e^{\frac{{\ln 2}}{T}t}} - 1\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {\frac{{{N_{Pb}}}}{{{N_{P0}}}}} \right)_{{t_1}}} = {e^{\frac{{\ln 2}}{T}{t_1}}} - 1 = 3 \Rightarrow {e^{\frac{{\ln 2}}{T}{t_1}}} = 4\\ {\left( {\frac{{{N_{Pb}}}}{{{N_{Po}}}}} \right)_2} = {e^{\frac{{\ln 1}}{T}{t_2}}} - 1 = {e^{\frac{{\ln 2}}{T}\left( {{t_1} + 276} \right)}} - 1 \end{array} \right.\\ \Rightarrow {\left( {\frac{{{N_{Pb}}}}{{{N_{Po}}}}} \right)_2} = {e^{\frac{{\ln 2}}{T}{t_1}}}.4 - 1 = 15\\ \Rightarrow {\left( {\frac{{{N_P}}}{{{N_{Pb}}}}} \right)_{{t_2}}} = \frac{1}{{15}} \end{array}\)

 Chọn A.

Ví dụ 4: Giả sử ban đầu có một mẫu phóng xạ X nguyên chất, có chu kỳ bán rã T và biến thành hạt nhân bền Y. Tại thời điểm t1 tỉ lệ giữa hạt nhân Y và hạt nhân X là k. Tại thời điểm t2 = t1 + 2T thì tỉ lệ đó là

A. k + 4.                      B. 4k/3.                                 

C. 4k + 3.                    D. 4k.

Hướng dẫn

\(\begin{array}{l} \frac{{{N_Y}}}{{{N_X}}} = \left( {{e^{\frac{{\ln 2}}{T}t}} - 1} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {\frac{{{N_Y}}}{{{N_X}}}} \right)_{{t_1}}} = \left( {{e^{\frac{{\ln 2}}{T}{t_1}}} - 1} \right) = k \Rightarrow {e^{\frac{{\ln 2}}{T}{t_1}}} = k + 1\\ {\left( {\frac{{{N_Y}}}{{{X_X}}}} \right)_{{t_2}}} = \left( {{e^{\frac{{\ln 2}}{T}\left( {{t_1} + 3T} \right)}} - 1} \right) = \left( {{e^{\frac{{\ln 2}}{T}3T}}{e^{\frac{{\ln 2}}{T}{t_1}}}} \right) = 8k + 7 \end{array} \right. \end{array}\)

 Chọn C.

Ví dụ 5: Ban đầu có một mẫu chất phóng xạ nguyên chất X với chu kì bán rã T. Cứ một hạt nhân X sau khi phóng xạ tạo thành một hạt nhân Y. Nếu hiện nay trong mẫu chất đó tỉ lệ số nguyên tử của chất Y và chất X là k thì tuổi của mẫu chất được xác định như sau:

A. Tln(l − k)/ln2.                      B. Tln(l + k)/ln2.                  

C. Tln(l − k)ln2.                     D. Tln(l + k)ln2.

Hướng dẫn

\(\begin{array}{l} k = \frac{{{N_Y}}}{{{N_X}}} = {e^{\frac{{\ln 2}}{T}t}} - 2\\ \Rightarrow t = \frac{{T\ln \left( {k + 1} \right)}}{{\ln 2}} \end{array}\)

Chọn B.

Ví dụ 6: (ĐH−2008) Hạt nhân \(_{{Z_1}}^{{A_1}}X\) phóng xạ và biến thành một hạt nhân \(_{{Z_2}}^{{A_2}}Y\)  bền. Coi khối lượng của hạt nhân X, Y bằng số khối của chúng tính theo đơn vị U. Biết chất phóng xạ X có chu kì bán rã là T. Ban đầu có một khối lượng chất X, sau 2 chu kì bán rã thì tỉ số giữa khối lượng của chất Y và khối lượng của chất X là

A. 4A1/A2.                  B. 4A2/A1.                 

C. 3A1/A2.                  D. 3A2/A1.

Hướng dẫn

\(\frac{{{m_{con}}}}{m} = \frac{{{A_{con}}}}{{{A_{me}}}}\left( {{e^{\frac{{\ln 2}}{T}t}} - 1} \right) = \frac{{{A_2}}}{{{A_1}}}\left( {{e^{\frac{{\ln 2}}{T}2T}} - 1} \right) = 3\frac{{{A_2}}}{{{A_1}}}\)

 Chọn D.

Ví dụ 7: Một hạt nhân X tự phóng xạ ra tia bêta với chu kì bán rã T và biến đổi thành hạt nhân Y. Tại thời điểm t người ta khảo sát thấy tỉ số khối lượng hạt nhân Y và X bằng A. Sau đó tại thời điểm t + T tỉ số trên xấp xỉ bằng

A. a+ 1.                                    B. a + 2.                                 

C. 2a−1.                                  D. 2a+l.

Hướng dẫn

Vì phón xạ beta nên  \({A_{con}} = {A_{me}};\frac{{{m_{con}}}}{m} = \frac{{{A_{con}}}}{{{A_{me}}}}\left( {{e^{\frac{{\ln 2}}{T}t}} - 1} \right) = \left( {{e^{\frac{{\ln 2}}{T}t}} - 1} \right)\)

+ Tại thời điểm t:  \({e^{\frac{{\ln 2}}{T}}} - 1 = a \Rightarrow {e^{\frac{{\ln 2}}{T}}} = a + 1\)

+ Tại thời điểm  \(t + T:\frac{{{m_{con}}}}{m} = \left( {{e^{\frac{{\ln 2}}{T}\left( {t + 2T} \right)}} - 1} \right) = \left( {2{e^{\frac{{\ln 2}}{T}}} - 1} \right) = 2a + 1\)

 Chọn D.

Ví dụ 8: Hạt nhân Po210 là hạt nhân phóng xạ α, sau khi phát ra tia α nó trở thành hạt nhân chì bền. Dùng một mẫu Po210, sau 30 (ngày) người ta thấy tỉ số khối lượng của chì và của Po210 trong mẫu bằng 0,1595. Xác định chu kì bán rã của Po210.

A. 138,074 ngày.                     B. 138,025 ngày.                    

C. 138,086 ngày.                    D. 138,047 ngày.

Hướng dẫn

\(\frac{{{m_{con}}}}{m} = \frac{{{A_{con}}}}{{{A_{me}}}}\left( {{e^{\frac{{\ln 2}}{T}t}} - 1} \right) \Rightarrow 0,1595 = \frac{{206}}{{210}}\left( {{e^{\frac{{\ln 2}}{T}.30}} - 1} \right) \Rightarrow T \approx 138,205\) (ngày)

 Chọn B.

Ví dụ 9: Ban đầu có một mẫu Po210 nguyên chất, sau một thời gian nó phóng xạ α và chuyển thành hạt nhân chì Pb206 bền với chu kì bán rã 138,38 ngày. Hỏi sau bao lâu thì tỉ lệ giữa khối lượng chì và khối lượng pôlôni còn lại trong mẫu là 0,7?

A. 109,2 ngày.                         B. 108,8 ngày.            

C. 107,5 ngày.                       D. 106,8 ngày.

Hướng dẫn

\(\frac{{{m_{con}}}}{n} = \frac{{{A_{con}}}}{{{A_{me}}}}\left( {{e^{\frac{{\ln 2}}{T}}} - 1} \right) \Rightarrow 0,7 = \frac{{206}}{{210}}\left( {{e^{\frac{{\ln 2}}{{138,38}}t}} - 1} \right) \Rightarrow t \approx 170,5\) (ngày)  

Chọn C

Ví dụ 10: (THPTQG − 2017) Chất phóng xạ pôlôni  \(_{84}^{210}Po\) phát ra tia α và biến đổi thành chì. Cho chu kì bán rã của pôlôni là 138 ngày. Ban đầu có một mẫu pôlôni nguyên chất, sau khoảng thời gian t thì tỉ số giữa khối lượng chì sinh ra và khối lượng pôlôni còn lại trong mẫu là 0,6. Coi khối lượng nguyên tử bằng số khối của hạt nhân của nguyên tử đó tính theo đơn vị u. Giá trị của t là

A. 95 ngày.                 B. 105 ngày.               

C. 83 ngày.                 D. 33 ngày.

Hướng dẫn

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {P_{N0}} = {N_0}{.2^{\frac{{ - t}}{T}}}\\ {N_{Pb}} = \Delta N = {N_0}\left( {1 - {2^{ - \frac{t}{T}}}} \right) \end{array} \right.\\ \Rightarrow \frac{{{m_{Pb}}}}{{{m_{Po}}}} = \frac{{206}}{{210}}\frac{{{N_{Pb}}}}{{{N_{Po}}}} = \frac{{206}}{{210}}\left( {{2^{\frac{t}{T}}} - 1} \right)\\ \frac{{{m_{Pb}}}}{{{m_{Po}}}} = 0,6 \Leftrightarrow t = 95 \end{array}\)

 Chọn A.

 

Trên đây là toàn bộ nội dung Tài liệu Chuyên đề Một số bài tập tính tỉ số (khối lượng) nhân con và số hạt (khối lượng) nhân mẹ trong phóng xạ. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập .

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• 20 câu hỏi trắc nghiệm về năng lượng của vật DĐĐH môn Vật lý 12 năm 2020

• Rèn luyện kỹ năng lập phương trình Dao động điều hòa Vật lý 12

• Bài tập và công thức tính nhanh về Con lắc lò xo, Con lắc đơn trong DĐĐH

Chúc các em học tập tốt !