YOMEDIA

Giải Toán 12 SGK nâng cao Chương 1 Bài 8 Một số bài toán thường gặp về đồ thị

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài tập Toán 12 nâng cao Chương 1 Bài 8 Một số bài toán thường gặp về đồ thị được hoc247 biên soạn và tổng hợp, nội dung bám sát theo chương trình SGK Giải tích 12 nâng cao giúp các em học sinh nắm vững phương pháp giải bài tập và ôn tập kiến thức hiệu quả hơn. 

Bài 57 trang 55 SGK Toán 12 nâng cao

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C) của hàm số: f(x) = 2x3 + 3x2 + 1

b) Tìm các giao điểm của đường cong (C) và parabol: (P):g(x) = 2x2 + 1

c) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) và  (P) tại mỗi giao điểm của chúng.

d) Xác định các khoảng trên đó (C) nằm phía trên hoặc phía dưới (C)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

TXĐ: D = R

\(\begin{array}{l}
f'(x) = 6{x^2} + 6x\\
f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x =  - 1
\end{array} \right.
\end{array}\)

Bảng biến thiên 

- Hàm số đông biến trên (−∞;−1) và (0;+∞)

- Hàm số nghịch biến trên (−1;0)

- Hàm số đạt cực tại x = −1;y = 2x

- Hàm số đạt cực tiểu tại x=0;yCT = 1

\(\mathop {lim}\limits_{x \to  \pm \infty } y =  \pm \infty \)

Đồ thị giao trục Oy tại điểm (0;1)

Câu b:

Hoành độ giao điểm của đường cong (C) và paraobol (P) là nghiệm của phương trình:

\(\begin{array}{l}
2{x^3} + 3{x^2} + 1 = 2{x^2} + 1 \Leftrightarrow 2{x^3} + {x^2} = 0\\
 \Leftrightarrow {x^2}\left( {2x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = \frac{{ - 1}}{2}
\end{array} \right.
\end{array}\)

Với x=0 ta có y=1; với x=−1/2 ta có y=3/2

Ta có giao điểm A(0;1) và B(−1/2;3/2)

Câu c:

\(\begin{array}{l}
f\prime (x) = 6{x^2} + 6x;g\prime (x) = 4x\\
f'\left( 0 \right) = 0;{\mkern 1mu} {\kern 1pt} g'\left( 0 \right) = 0
\end{array}\)

Đường thẳng y = 1 là tiếp tuyến chung của (C) và (P) tại điểm A(0;1)

\(f'\left( { - \frac{1}{2}} \right) =  - \frac{3}{2}\).Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm B là: 

\(y =  - \frac{3}{2}\left( {x + \frac{1}{2}} \right) + \frac{3}{2}\)

\(g'\left( { - \frac{1}{2}} \right) =  - 2\). Phương trình tiếp tuyến của parabol (P) tại điểm B là: \(y =  - 2\left( {x + \frac{1}{2}} \right) + \frac{3}{2}hayy =  - 2x + \frac{1}{2}\)

Câu d:

Xét hiệu: 

\(f(x) - g(x) = 2{x^3} + 3{x^2} + 1 - 2{x^2} - 1 = 2{x^3} + {x^2} = {x^2}(2x + 1)\)

Xét dấu f(x) - g(x) 

Trên khoảng (−∞;−1/2) (C) nằm phía dưới (P)

Trên các khoảng (−1/2;0) và (0;+∞) (C) nằm phía trên (P).


Bài 58 trang 56 SGK Toán 12 nâng cao

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\)

b) Với các giá nào của m, đường thẳng (dm) đi qua điểm A(−2;2) và có hệ số góc m cắt đồ thị của hàm số đã cho:

  • Tại hai điểm phân biệt?
  • Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị?

Hướng dẫn giải:

Câu a:

TXĐ: D = R \ {-1}

\(y\prime  = \frac{3}{{{{(x + 1)}^2}}} > 0,\forall x \in D\)

Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;−1) và (−1;+∞)

Hàm số không có cực trị

Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = 2\)

Tiệm cận đứng y = 2

\(\mathop {lim}\limits_{x \to {1^ - }} y =  + \infty ;\mathop {lim}\limits_{x \to {1^ + }} y =  - \infty \)

Tiệm cận đứng y = 2

Bảng biến thiên

Đồ thị giao Ox tại điểm (1/2;0)

Đồ thị giao Oy tại điểm (0;−1)

Câu b:

Phương trình đường thẳng (dm) đi qua điểm A(−2;2) và có hệ số góc m là:

y - 2 = m(x + 2) hay y = mx + 2m + 2

Hoành độ giao điểm của đường thẳng (dm) và đường cong đã cho là nghiệm phương trình:

\(\begin{array}{l}
mx + 2m + 2 = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\\
 \Leftrightarrow (mx + 2m + 2)(x + 1) = 2x - 1(1)\\
 \Leftrightarrow f(x) = {x^2} + 3mx + 2m + 3 = 0(2)
\end{array}\)

(vì x = −1 không là nghiệm của (1))

  • Đường thẳng (dm) cắt đường cong tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt, tức là

\(\left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
\Delta  = {m^2} - 12m > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \) m < 0 hoặc m > 12 (*)

  • Hai nhánh của đường cong nằm về hai phía của đường tiệm cận đứng x=−1 của đồ thị.

Đường thẳng (dm) cắt đường cong tại hai điểm thuộc hai nhánh của nó khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x< −1 < x2

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow {x_1} + 1 < 0 < {x_2} + 1 \Leftrightarrow ({x_1} + 1)({x_2} + 1) < 0\\
 \Leftrightarrow {x_1}.{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1 < 0 \Leftrightarrow \frac{{2m + 3}}{m} - \frac{{3m}}{m} + 1 < 0\\
 \Leftrightarrow \frac{3}{m} < 0
\end{array}\)

Vậy với m < 0 thì (dm) cắt (C) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị.


Bài 59 trang 56 SGK Toán 12 nâng cao

Chứng minh rằng các đồ thị của ba hàm số: f(x)=−x2+3x+6 g(x)=x3−x2+4 và h(x)=x2+7x+8 tiếp xúc với nhau tại điểm A(−1;2) (tức là chúng có cùng tiếp tuyến tại A)

Hướng dẫn giải:

Ta có: f(−1) = g(−1) = h(−1) = 2

Do đó điểm A(−1;2) là điểm chung của ba đường cong đã cho. 

\(f\prime (x) =  - 2x + 3;g\prime (x) = 3{x^2} - 2x;h\prime (x) = 2x + 7f\prime ( - 1) = g\prime ( - 1) = h\prime ( - 1) = 5\)

Vậy ba đường cong có tiếp tuyến chung điểm A


Bài 60 trang 56 SGK Toán 12 nâng cao

Chứng minh rằng các đồ thị của hai hàm số: \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{3}{2}x\) và \(g\left( x \right) = \frac{{3x}}{{x + 2}}\)  tiếp xúc với nhau. Xác định tiếp điểm của hai đường cong trên và viết phương trình tiếp tuyến chung tại điểm đó.

Hướng dẫn giải:

Hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đã cho là nghiệm của hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{3}{2}x = \frac{{3x}}{{x + 2}}\\
\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{3}{2}x} \right)' = \left( {\frac{{3x}}{{x + 2}}} \right)'
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{3}{2}x = \frac{{3x}}{{x + 2}}\left( 1 \right)\\
\frac{x}{2} + \frac{3}{2} = \frac{6}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\left( 2 \right)
\end{array} \right.\\
\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
\frac{{x + 3}}{2} = \frac{3}{{x + 2}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
{x^2} + 5x = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x =  - 5
\end{array} \right.
\end{array}\)

+) x=0 thỏa mãn (2)
+) x=−5 phương trình (I) có 1 nghiệm duy nhất x=0. Vậy hai đường cong tiếp xúc với nhau tại gôc tọa độ O; \(y'\left( 0 \right) = \frac{3}{2}\). Phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm gốc là \(y = \frac{3}{2}x\)


Bài 61 trang 56 SGK Toán 12 nâng cao

Một viên đạn được bắn ra với vận tốc ban đầu v0 > 0 từ một nòng súng đặt ở gốc tọa độ O, nghiêng một góc α với mặt đất (nòng súng nằm trong mặt phẳng thẳng đứng Oxy và tạo với trục hoành Ox góc α ). Biết quỹ đạo chuyển động của viên đạn là parabol.

\(\left( {{\gamma _\alpha }} \right):y =  - \frac{g}{{2v_o^2}}\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right){x^2} + x\tan \alpha \) ( g là gia tốc trọng trường).

Chứng minh rằng với mọi \(\alpha  \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right),({\gamma _\alpha })\)  luôn tiếp xúc với parabol (P) có phương trình là: \(y =  - \frac{g}{{2v_o^2}}{x^2} + \frac{{v_o^2}}{{2g}}\) và tìm tọa độ tiếp điểm (P) được gọi là parabol an toàn).

Hướng dẫn giải:

Hoành độ tiếp điểm của hai parabol là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}
 - \frac{g}{{2v_o^2}}\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right){x^2} + x\tan \alpha  =  - \frac{g}{{2v_o^2}}{x^2} + \frac{{v_o^2}}{{2g}}\\
 - \frac{g}{{v_o^2}}\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right)x + \tan \alpha  =  - \frac{g}{{v_o^2}}x
\end{array} \right.\)

Nghiệm của phương trình thứ hai của hệ là \(x = \frac{{v_o^2}}{{g\tan \alpha }}\)

Ta có: \(x = \frac{{v_o^2}}{{g\tan \alpha }}\) cũng là nghiệm của phương trình thứ nhất của hệ. Vậy với mọi \(\alpha  \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) hai parabol luôn tiếp xúc với nhau. Hoành độ tiếp điểm là \(x = \frac{{v_o^2}}{{g\tan \alpha }}\). Tung độ của tiếp điểm là:

\(y =  - \frac{g}{{2v_o^2}}{\left( {\frac{{v_o^2}}{{g\tan \alpha }}} \right)^2} + \frac{{v_o^2}}{{2g}} = \frac{{v_o^2}}{{2g}}\left( {1 - \frac{1}{{{{\tan }^2}\alpha }}} \right)\)

Điểm \(\left( {\frac{{v_o^2}}{{g\tan \alpha }};\frac{{v_o^2}}{{2g}}\left( {1 - {{\cot }^2}\alpha } \right)} \right)\) là tiếp điểm của hai parabol với mọi \(\alpha  \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)


Bài 62 trang 57 SGK Toán 12 nâng cao

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\)

b) Chứng minh rằng giao điểm I của hai đường tiệm cận của đường cong đã cho là tâm đối xứng của nó

Hướng dẫn giải:

Câu a:

TXĐ: D = R \ {-1}

Sự biến thiên:

\(y\prime  = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0\forall x \in D\)

Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;−1) và (−1;+∞)

Giới hạn:

\(\mathop {lim}\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y =  + \infty ;\mathop {lim}\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} y =  - \infty \)

Tiệm cận đứng x = -1

\(\mathop {limy}\limits_{x \to  \pm \infty }  = 1\)

Tiệm cận ngang: y=1

Bảng biến thiên:

Đồ thị giao Ox tại điểm (1;0)

Đồ thị giao Oy tại điểm (0;−1)

Câu b:

Giao điểm của hai tiệm cận của đường cong là I(−1;1)

Công thức đổi trục tịnh tiến theo vecto OI là: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = X - 1\\
y = Y + 1
\end{array} \right.\)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ IXY là:

\(Y + 1 = \frac{{X - 1 - 1}}{{X - 1 + 1}} \Leftrightarrow Y + 1 = \frac{{X - 2}}{X} \Leftrightarrow Y = \frac{{ - 2}}{X}\)

Đây là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc I làm tâm đối xứng


Bài 63 trang 57 SGK Toán 12 nâng cao

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số: \(y = \frac{{x + 2}}{{2x + 1}}\)

b) Chứng minh rằng đường thẳng y = mx + m − 1 luôn đi qua một điểm cố định của đường cong (H) khi m biến thiên.

c) Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng đã cho cắt đường cong (H) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của (H).

Hướng dẫn giải:

Câu a:

TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ {\frac{{ - 1}}{2}} \right\}\)

Sự biến thiên

\(y\prime  = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} < 0\forall x \in D\)

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right),\left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\)

Giới hạn

\(\mathop {lim}\limits_{x \to {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^ - }} y =  - \infty ;\mathop {lim}\limits_{x \to {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^ + }} y =  + \infty \)

Hầm số không có cực trị.

Tiệm cận đứng: x = −1/2

\(\mathop {limy}\limits_{x \to  \pm \infty }  = \frac{1}{2}\)

Tiệm cận ngang y=1/2

Bảng biến thiên:

Đồ thị giao Ox tại điểm (−2;0)

Đồ thị giao Oy tại điểm (0;2)

Câu b:

Ta có y=mx+m−1<=>y+1=m(x+1)

Tọa độ điểm cố định A của đường thẳng là nghiệm của hệ: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 1 = 0\\
y + 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x =  - 1\\
y =  - 1
\end{array} \right.\)

Vậy A(-1; 1)

Câu c:

Hoành độ giao điểm của đường thẳng đã cho và đường cong (H) là nghiệm của phương trình:

\(\begin{array}{l}
m(x + 1) - 1 = \frac{{x + 2}}{{2x + 1}} \Leftrightarrow (2x + 1)[m(x + 1) - 1] = x + 2\\
 \Leftrightarrow m(x + 1)(2x + 1) - (2x + 1) = x + 2\\
 \Leftrightarrow (x + 1)(2mx + m - 3) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - 1\\
f(x) = 2mx + m - 3 = 0(1)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Hai nhánh của (H) nằm về hai bên của tiệm cận đứng x = −1/2

Điểm A(−1;1) thuộc nhánh trái của (H) vì \({x_A} =  - 1 < \frac{{ - 1}}{2}\)

Đường thẳng cắt (H)(H) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh khi và chỉ khi (1) có nghiệm x<−1/2 và x ≠ −1 tức

\(\left\{ \begin{array}{l}
x \ne 0\\
x = \frac{{ - m + 3}}{2} < \frac{{ - 1}}{2}\\
f\left( { - 1} \right) \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne 0\\
\frac{3}{{2m}} < 0\\
 - m - 3 \ne 0
\end{array} \right.\) <=> m < - 3 hoặc -3 < m < 0


Bài 64 trang 57 SGK Toán 12 nâng cao

Cho hàm số \(y = \frac{{a{x^2} - bx}}{{x - 1}}\)

a) Tìm a và b biết rằng đồ thị (C) của hàm số đã cho đi qua điểm \(A\left( { - 1;\frac{5}{2}} \right)\) và tiếp tuyến của (C) tại điểm O(0;0) có hệ số bằng −3.

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với các giá trị của a và b đã tìm được.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có: \({M_o} \in \left( C \right);y\prime  = \frac{{(12ax - b)(x - 1) - (a{x^2} - bx)}}{{{{(x - 1)}^2}}}\)

Đồ thị (C) đi qua \(A\left( { - 1;\frac{5}{2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow y( - 1) = \frac{5}{2} \Leftrightarrow \frac{{a + b}}{{ - 2}} = \frac{5}{2} \Leftrightarrow a + b =  - 5(1)\)

Tiếp tuyến của (C) tại O(0;0) có hệ số góc bằng −3 khi và chỉ khi y′(0) = −3 <=> b = −3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra a = −2; b = −3

Câu b:

Với a = -2; b = -3 ta có: \(y = \frac{{ - 2{x^3} + 3x}}{{x - 1}}\)

TXĐ: D = R \ {1}

\(y\prime  = \frac{{2{x^2} + 4x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0\forall x \in D\)

Hàm số nghịch biến trên khoảng: (−∞;1) và (1;+∞)

Hàm số không có cực trị

Giới hạn:

\(\mathop {lim}\limits_{x \to {1^ - }} y =  - \infty ;\mathop {lim}\limits_{x \to {1^ + }} y =  + \infty \)

Tiệm cận đứng là x = 1

\(\begin{array}{l}
a = \mathop {lim}\limits_{x \to \infty } \frac{y}{x} = \mathop {lim}\limits_{x \to \infty } \frac{{ - 2{x^2} + 3x}}{{{x^2} - x}} =  - 2\\
b = \mathop {lim}\limits_{x \to \infty } \left( {y + 2x} \right) = \mathop {lim}\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{ - 2{x^2} + 3x}}{{x - 1}} + 2x} \right) = 1
\end{array}\)

Tiệm cận xiên là: y = −2x + 1

Bảng biến thiên:

Đồ thị giao Oy tại điểm (0;0) và (3/2;0)

 


Bài 65 trang 58 SGK Toán 12 nâng cao

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \(y = \frac{{2{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}\)

b) Với các giá trị nào của m thì đường thẳng y = m–x cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt?

c) Gọi A và B là hai giao điểm đó. Tìm tập hợp các trung điểm của đoạn thẳng AB khi m biến thiên.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

TXĐ: D = R \ {1}

Sự biến thiên

\(\begin{array}{l}
y' = \frac{{2{x^2} - 4x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\
y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 2
\end{array} \right.
\end{array}\)

Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;0) và (2;+∞)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1) và (1;2)

Cực trị

Hàm số đạt cực đại tại x=0, y = 1

Hàm số đạt cực tiểu tại x=2, yCT = 7

Giới hạn:

\(\mathop {lim}\limits_{x \to {1^ - }} y =  - \infty ;\mathop {lim}\limits_{x \to {1^ + }} y =  + \infty \)

Tiệm cận đứng là x = 1

\(\begin{array}{l}
a = \mathop {lim}\limits_{x \to  - \infty } \frac{y}{a} = \mathop {lim}\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2{x^2} - x + 1}}{{{x^2} - x}} = 2\\
b = \mathop {lim}\limits_{x \to  - \infty } \left( {y - 2x} \right) = \mathop {lim}\limits_{x \to  - \infty } \left( {\frac{{2{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} - 2x} \right) = 1
\end{array}\)

Bảng biến thiên

Đồ thị cắt Oy tại điểm (0; -1)

Câu b:

Hoành độ giao điểm của đường thẳng và đường cong đã cho là nghiệm của phương trình

\(\begin{array}{l}
\frac{{2{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = m - 1 \Leftrightarrow 2{x^2} - x + 1 = (x - 1)(m - x)\\
 \Leftrightarrow 3{x^2} - (m + 2)x + m + 1 = 0(1)
\end{array}\)

(vì x = 1 không là nghiệm củ hai phương trình)

Đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, tức là

\(\begin{array}{l}
\Delta  = {(m + 2)^2} - 12(m + 1) > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 8m - 8 > 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m < 4 - 2\sqrt 6 \\
m > 4 - 2\sqrt 6 \left( 2 \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Câu c:

Hoành độ giao điểm A, B là các nghiệm của (1)

Hoành độ trung điểm M của AB là: \({x_M} = \frac{1}{2}({x_A} + {x_B}) = \frac{{m + 2}}{6}\) 

Vì M nằm trên đường thẳng y = m - x nên \({y_M} = m - {x_M} = m - \frac{{m + 2}}{6} = \frac{{5m - 2}}{6}\)

Khử m từ hệ \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_M} = \frac{{m + 2}}{6}\\
{y_M} = \frac{{5m - 2}}{6}
\end{array} \right.\) ta được \(5{x_M} - {y_M} = 2 \Leftrightarrow {y_M} = 5{x_M} - 2\)

Vậy M nằm trên đường thẳng y = 5x - 2

Vì m chỉ lấy giá trị thỏa mãn (2) nên: 

\(\begin{array}{l}
m < 4 - 2\sqrt 6  \Rightarrow m = 6{x_M} - 2 < 4 - 2\sqrt 6  \Rightarrow {x_M} < 1 - \frac{{\sqrt 6 }}{3}\\
m > 4 + 2\sqrt 6  \Rightarrow m = 6{x_M} - 2 > 4 + 2\sqrt 6  \Rightarrow {x_M} > 1 + \frac{{\sqrt 6 }}{3}
\end{array}\)

Vậy tập hợp các trung điểm M của đoạn AB là phần của đường thẳng y = 5x−2 với \({x_M} < 1 - \frac{{\sqrt 6 }}{3}\) hoặc \({x_M} > 1 + \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)


Bài 66 trang 58 SGK Toán 12 nâng cao

Tìm các hệ số a,ba,b sao cho parabol y = 2x2 + ax + b tiếp xúc với hypebol y = 1/x tại điểm M(1/2;2)

Hướng dẫn giải:

Giả sử \(f(x) = 2{x^2} + ax + b;g(x) = \frac{1}{x}\)

Parabol  tiếp xúc với hypebol tại M(1/2 ;2) khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
f\left( {\frac{1}{2}} \right) = g\left( {\frac{1}{2}} \right) = 2\\
f'\left( {\frac{1}{2}} \right) = g'\left( {\frac{1}{2}} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{2} + \frac{a}{2} + b = 2\\
4.\frac{1}{2} + a =  - \frac{1}{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}}}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a + 2b = 3\\
a + 2 =  - 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a =  - 6\\
b = \frac{9}{2}
\end{array} \right.
\end{array}\)

 

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 12 Chương 1 Bài 8 Một số bài toán thường gặp về đồ thị được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 12 học tập thật tốt!

 
 

 

YOMEDIA