Giải Toán 12 SGK nâng cao Chương 1 Bài 2 Cực trị của hàm số

Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) \(f(x) = \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} + 3x - 1\)

b) \(f(x) = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + 2x - 10\)

c) \(f(x) = x + \frac{1}{x}\)

d) \(f(x) = |x|(x + 2)\)

e) \(f(x) = \frac{{{x^5}}}{5} - \frac{{{x^3}}}{3} + 2\)

f) \(f(x) = \frac{{{x^2} - 3x + 3}}{{x - 1}}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

TXĐ: D = R

\(\begin{array}{l}
f'(x) = {x^2} + 4x + 3\\
f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - 1\\
x =  - 3
\end{array} \right.\\
f( - 1) =  - \frac{7}{3};f( - 3) =  - 1
\end{array}\)

Bảng biến thiên

• Hàm số đạt cực đại tại điểm x = -3, giá trị cực đại của hàm số là f(-3) = -1
• Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = -1, giá trị cực tiểu của hàm số là \(f( - 1) =  - \frac{7}{3}\)

Câu b:

TXĐ: D = R

\(f'(x) = {x^2} - 2x + 2 > 0\) với mọi \(x \in R\) (vì a > 0, \(\Delta ' < 0\))

Hàm số đồng biến trên R, không có cực trị

Câu c:

TXĐ: D = R \ {0}

\(\begin{array}{l}
f'(x) = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}\\
f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1;f(1) = 2\\
x =  - 1;f( - 1) =  - 2
\end{array} \right.
\end{array}\)

Bảng biến thiên

• Hàm số đạt cực đại tại điểm x = -1, giá trị cực đại f(-1) = -2.
• Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1, giá trị cực tiểu f(-1) = 2.

Câu d:

TXĐ: D = R. Hàm số liên tục trên R

\(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
x(x + 2),x \ge 0\\
 - x(x + 2),x < 0
\end{array} \right.\)

- Với x > 0: f'(x) = 2x + 2 > 0 với mọi x > 0

- Với x < 0: f'(x) = -2x - 2; f'(x) = 0 <=> x = -1; f(-1) = 1

Bảng biến thiên 

Hàm số đạt cực đại tại x = -1, giá trị cực đại f(-1) = 1.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, giá trị cực đại f(0) = 0.

Câu e:

TXĐ: D =  R

\(\begin{array}{l}
f'(x) = {x^4} - {x^2} = {x^2}({x^2} - 1)\\
f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0;f(0) = 2\\
x = 1;f(1) = \frac{{28}}{{15}}\\
x =  - 1;f( - 1) = \frac{{32}}{{15}}
\end{array} \right.
\end{array}\)

Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực đại tại điểm x = - 1, giá trị cực đại \(f\left( { - 1} \right) = \frac{{32}}{{15}}\)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1, giá trị cực tiểu \(f\left( { 1} \right) = \frac{{28}}{{15}}\)

Câu f:

TXĐ: D = R \ {1}

\(f'(x) = \frac{{\left( {2x - 3} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} - 3x + 3} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0;f\left( 0 \right) =  - 3\\
x = 2;f\left( 2 \right) = 1
\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên 

Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0, giá trị cực đại f(0) = -3

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2, giá trị cực tiểu f(2) = 1

---

Tìm cực trị của các hàm số sau:

\(\begin{array}{l}
a)  y = x\sqrt {4 - {x^2}} \\
b)  y = \sqrt {8 - {x^2}} \\
c)  y = x - \sin 2x + 2\\
d)  y = 3 - 2\cos x - \cos 2x
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

TXĐ: D = [-2; 2]

\(y' = \sqrt {4 - {x^2}}  + x.\frac{{ - x}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = \frac{{4 - {x^2} - {x^2}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = \frac{{4 - 2{x^2}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow 4 - 2{x^2} = 0 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 2 \)

\(y\left( { - \sqrt 2 } \right) =  - 2;y\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\)

Bảng biến thiên 

• Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x =  - \sqrt 2 \), giá trị cực tiểu \(y\left( { - \sqrt 2 } \right) =  - 2\)
• Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = \sqrt 2 \), giá trị cực tiểu \(y\left( { \sqrt 2 } \right) =  2\)

Câu b:

TXĐ: \(D = \left[ { - 2\sqrt 2 ;2\sqrt 2 } \right]\)

\(y' = \frac{{ - x}}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}\)

y' = 0 <=> x = 0, \(y\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 \)

Bảng biến thiên 

• Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0, giá trị cực đại \(y\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 \)

Câu c:

Áp dụng quy tắc 2.

TXĐ: D = R

\(\begin{array}{l}
y' = 1 - 2\cos 2x;y' = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{1}{2} = \cos \frac{\pi }{3}\\
 \Leftrightarrow x =  \pm \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in Z
\end{array}\)

y'' = 4sin2x

*** Ta có:

* \(y''\left( { - \frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = 4sin\left( { - \frac{\pi }{3}} \right) =  - 2\sqrt 3  < 0\)

Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x =  - \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in Z\); giá trị cực đại \(y\left( { - \frac{\pi }{6} + k\pi } \right) =  - \frac{\pi }{6} + k\pi  + \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 2\)

* \(y''\left( {\frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = 4sin\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = 2\sqrt 3  > 0\)

Do đó hàm số đạt cực tiểu tại các điểm \(x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in Z\), giá trị cực tiểu \(y\left( {\frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = \frac{\pi }{6} + k\pi  - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 2\)

Câu d:

y' = 2sinx + 2sin2x = 2sinx(1 + 2cosx)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = 0\\
\cos x =  - \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k\pi \\
x =  \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2k\pi 
\end{array} \right.,k \in Z\)

y'' = 2cosx + 4cos2x

* \(y''\left( {k\pi } \right) = 2\cos k\pi  + 4\cos 2k\pi  = 2\cos k\pi  + 4 > 0,\forall k \in Z\)

Do đó hàm số đã cho đạt cực tiểu tại các điểm \(x = k\pi \), giá trị cực tiểu:

\(y\left( {k\pi } \right) = 3 - 2\cos k\pi  - \cos 2k\pi  = 2 - 2\cos k\pi \)

* \(y''\left( { \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \right) = 2\cos \frac{{2\pi }}{3} + 4\cos \frac{{2\pi }}{3} = 6\cos \frac{{2\pi }}{3} =  - 3 < 0\)

Do đó hàm số đã cho đạt cực đại tại các điểm \(x =  \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2k\pi ,k \in Z\), giá trị cực đại 

\(y\left( { \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \right) = 3 - 2\cos \frac{{2\pi }}{3} - \cos \frac{{4\pi }}{3} = \frac{9}{2}\)

---

Tìm các hệ số a, b, c, d của hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) sao cho hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x=0, f(0) = 0 và đạt cực đại tại điểm x = 1, f(1) = 1

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\)

f đạt cực tiểu tại điểm x = 0 nên f'(0) = 0 => c = 0

f(0) = 0 => d = 0.

Vậy \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2}\)

f đạt cực đại tại điểm x = 1 nên f′(1) = 0 => 3a + 2b = 0

f(1) = 1 => a + b = 1

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3a + 2b = 0}\\
{a + b = 1}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a =  - 2}\\
{b = 3}
\end{array}} \right.\)

Thử lại với a = −2, b = 3, c = d = 0 ta được:

\(f\left( x \right) =  - 2{x^3} + 3{x^2},f'\left( x \right) =  - 6{x^2} + 6x,f''\left( x \right) =  - 12x + 6\)

f''(0) = 6 > 0: Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0; f(0) = 0; f′′(1) = − 6 < 0

Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1; f(1) = 1

Vậy a = −2; b = 3 ; c = d = 0

---

Xác định các hệ số a, b, c sao cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) đạt cực trị bằng 0 tại điểm x = − 2 và đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1;0)

Hướng dẫn giải:

\(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2ax + b\)

f đạt cực trị tại điểm x = −2 nên f′(−2) = 0 

=> 12 - 4a + b = 0 (1)

f(-2) = 0 => -8 + 4a - 2b + c = 0 (2)

Đồ thị hàm số đi qua điểm A(1;0) nên: f(1) = 0 => 1 + a + b + c = 0 (3)

Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}
4a - b = 12\\
4a - 2b + c = 8\\
a + b + c =  - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 3\\
b = 0\\
c =  - 4
\end{array} \right.\)

Vậy a = 3, b = 0, c = - 4

---

Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, hàm số \(y = \frac{{{x^2} - m\left( {m + 1} \right)x + {m^3} + 1}}{{x - m}}\) luôn có cực đại và cực tiểu

Hướng dẫn giải:

TXĐ: D = R \ {m}

\(\begin{array}{l}
y' = \frac{{\left[ {2x - m\left( {m + 1} \right)} \right]\left( {x - m} \right) - \left[ {{x^2} - m\left( {m + 1} \right)x + {m^3} + 1} \right]}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\\
 = \frac{{{x^2} - 2mx + {m^2} - 1}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}},x \ne m\\
y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + {m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - m} \right)^2} = 1\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = m - 1;f\left( {m - 1} \right) =  - {m^2} + m - 2\\
x = m + 1;f\left( {m + 1} \right) =  - {m^2} + m + 2
\end{array} \right.
\end{array}\)

Bảng biến thiên

Với mọi giá trị của m, hàm số đạt cực đại tại điểm x = m - 1 và đạt cực tiểu tại điểm x = m + 1

 

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 12 Chương 1 Bài 2 Cực trị của hàm số được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 12 học tập thật tốt!