Giải Toán 12 SGK nâng cao Chương 1 Bài 6 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một hàm số đa thức

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 4\)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn.

c) Chứng minh rằng điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

TXĐ: D = R

Sự biến thiên

\(\begin{array}{l}
y\prime  = 3{x^2} + 6x\\
y\prime  = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x =  - 2
\end{array} \right.
\end{array}\)

- Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\)

- Hàm số nghịch biến trên khoảng (−2; 0)

- Cực trị:

  Hàm số đạt cực đại tại x = −2; yCĐ = 0

  Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; yCT = −4

- Giới hạn:

\(\begin{array}{l}
\mathop {lim}\limits_{x \to  + \infty } ({x^3} + 3{x^2} - 4) =  + \infty \\
\mathop {lim}\limits_{x \to  - \infty } ({x^3} + 3{x^2} - 4) =  - \infty 
\end{array}\)

y'' = 6x + 6

y'' = 0 <=> x = -1

- Bảng biến thiên

- Đồ thị

Câu b:

y'(-1) = -3

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại I(−1;−2) là:

y=−3(x+1)+(−2) <=> y=−3x−5

Câu c:

Đồ thị nhận I(−1;−2) làm tâm đối xứng khi và chỉ khi:

\(\begin{array}{l}
y( - 1 + x) + y( - 1 - x) = 2.( - 2)\\
 \Leftrightarrow {( - 1 + x)^2} + 3{( - 1 + x)^2} - 4 + {( - 1 - x)^3} + 3{( - 1 - x)^2} - 4 =  - 4\\
 \Leftrightarrow  - 1 + 3x - 3{x^2} + {x^3} + 3 - 6x + 3{x^2} - 4 - 1 - 3x - 3{x^2} - {x^3} + 3 + 6x + 3{x^2} - 4 =  - 4\\
 \Leftrightarrow  - 4 =  - 4\forall x
\end{array}\)

Vậy I(-1; -2) là tâm đối xứng của đồ thị

---

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = -x3 +3x2 - 1

b) Tùy theo các giá trị của m, hãy biện luận số nghiệm của phương trình: -x3 +3x2 - 1 = m

Hướng dẫn giải:

Câu a:

TXĐ: D = R

\(\mathop {lim}\limits_{x \to  + \infty } y =  - \infty ;\mathop {lim}\limits_{x \to  - \infty } y =  + \infty \)

\(y\prime  =  - 3{x^2} + 6x =  - 3x(x - 2);y\prime  = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0;y(0) =  - 1\\
x = 2;y(2) = 3
\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên

Hàm đồng biến trên khoảng (0; 2), nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞;0) và (2;+∞)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0, giá trị cực tiểu y(0) = −1. Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 2, giá trị cực đại y(2) = 3

Đồ thị y′′=−6x+6; y′′=0<=>x=1;y(1)=1

Xét dấu y''

I(1; 1) là điểm uốn của đồ thị

Điểm đặc biệt:

x=0 => y=−1

x=−1 => y=3

Câu b:

Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị (C) hàm số y = −x3 + 3x2 − 1 với đường thẳng y = m cùng phương với trục Ox

Dựa vào đồ thị ta có kết quả sau:

- Nếu m < −1 hoặc m > 3 thì phương trình có 1 nghiệm;

- Nếu m = −1 hoặc m=3 thì phương trình có 2 nghiệm;

- Nếu −1 < m < 3 thì phương trình có 3 nghiệm.

---

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} - 3x - \frac{5}{3}\)

b) \(y = {x^3} - 3x + 1\)

c) \(y =  - \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} - 2x - \frac{2}{3}\)

d) \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x + 1\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

TXĐ: D = R

\(\mathop {lim}\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty ;\mathop {lim}\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty \)

\(y\prime  = {x^2} - 2x - 3;y\prime  = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - 1;y\left( { - 1} \right) = 0\\
x = 3;y\left( 3 \right) = \frac{{ - 32}}{3}
\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên 

\(y\prime \prime  = 2x - 2;y\prime \prime  = 0 \Leftrightarrow x = 1;y(1) =  - \frac{{16}}{3}\)

Xét dấu y''

Điểm uốn \(I\left( {1; - \frac{{16}}{3}} \right)\)

Điểm đặc biệt: x = 0 => y = -5/3

Đồ thị nhận \(I\left( {1; - \frac{{16}}{3}} \right)\) làm tâm đối xứng

Câu b:

TXĐ: D = R

\(\mathop {lim}\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty ;\mathop {lim}\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty \)

\(y\prime  = 3{x^2} - 3;y\prime  = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - 1;y\left( { - 1} \right) = 3\\
x = 1;y\left( 1 \right) =  - 1
\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên

y'' = 6x; y'' = 0 <=> x = 0; y(0) = 1

Xét dấu y''

Điểm uốn I(0; 1)

Điểm đặc biệt: x = 2 => y = 3

Đồ thị: Đồ thị nhận I(0;1) làm tâm đối xứng.

 

Câu c:

TXĐ: D = R

\(\mathop {lim}\limits_{x \to  + \infty } y =  - \infty ;\mathop {lim}\limits_{x \to  - \infty } y =  + \infty \)

\(y\prime  =  - {x^2} + 2x - 2 < 0,\forall x \in R\)

Hàm số nghịch biến trên R

Bảng biến thiên

\(y\prime \prime  =  - 2x + 2;y\prime \prime  = 0 \Leftrightarrow x = 1;y(1) =  - 2\)

Xét dấu y''

Điểm uốn I(1; −2)

Điểm đặc biết: x = 0 => y = −2/3

Đồ thị: Đồ thị nhận I(1;−2) làm tâm đối xứng.

Câu d:

TXĐ: D = R

\(\mathop {lim}\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty ;\mathop {lim}\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty \)

\(y\prime  = 3{x^2} - 6x + 3 = 3{\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0,\forall x \in R\)

Dấu bằng chỉ xảy ra khi x = 1

Hàm số đồng biến trên R

Bảng biến thiên:

Xét dấu y''

Điểm uốn I(1; 2) 

Điểm đặc biệt: x = 0 => y = 1

Đồ thị: Đồ thị nhận I(1; 2) làm tâm đối xứng.

​

---

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = −x4 + 2x2 − 2
b) Tùy theo các giá trị của m, hãy biện luận số nghiệm của phương trình −x4 + 2x2 − 2= m
c) Viết phương trình tiếp tuyến tại các điểm uốn của đồ thị ở câu a)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

TXĐ: D = R

\(\mathop {lim}\limits_{x \to  \pm \infty } y =  - \infty \)

\(y\prime  =  - 4x{3^3} + 4x =  - 4x({x^2} - 1);y\prime  = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0,y(0) =  - 2\\
x =  \pm 1,y( \pm 1) =  - 1
\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên

Hàm đồng biến trên các khoảng (−∞;−1) và (0; 1)

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−1;0) và (1;+∞)

Hàm số đạt cực đại tại các điểm x = −1; x =  1

Giá trị cực đại \(y( \pm 1) =  - 1\) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0, giá trị cực tiểu y(0) = −2.

\(\begin{array}{l}
y\prime \prime  =  - 12{x^2} + 4 =  - 4(3{x^2} - 1)\\
y\prime \prime  = 0 \Leftrightarrow x = \left( { \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right);y\left( { \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) =  - \frac{{13}}{9}
\end{array}\)

Xét dấu y''

Đồ thị có hai điểm uốn \({I_1}\left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}; - \frac{{13}}{9}} \right)\) và  \({I_1}\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}; - \frac{{13}}{9}} \right)\)
Điểm đặc biệt x = 2 =>y = −10
Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

Câu b:

Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị (C) hàm số y = −x4 + 2x2 − 2 với đường thẳng y=m
Dựa vào đồ thị ta có kết quả sau:
- Nếu m<−2 thì phương trình có 2 nghiệm;
- Nếu m=−2 thì phương trình có 3 nghiệm;
- Nếu −2 - Nếu m=−1 thì phương trình có 2 nghiệm;
- Nếu m>−1 thì phương trình vô nghiệm.

Câu c: 

Đồ thị có hai điểm uốn  \({I_1}\left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}; - \frac{{13}}{9}} \right)\) và  \({I_1}\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}; - \frac{{13}}{9}} \right)\)
phương trình tiếp tuyến của đồ thị I1 là:

\(y + \frac{{13}}{9} = y\prime \left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)\left( {x + \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) \Leftrightarrow y + \frac{{13}}{9} = \frac{{ - 8}}{{3\sqrt 3 }}\left( {x + \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) \Leftrightarrow y = \frac{{ - 8}}{{3\sqrt 3 }}x - \frac{7}{3}\)

Tương tự tiếp tuyến của đồ thị I2 là \(y = \frac{8}{{3\sqrt 3 }}x - \frac{7}{3}\)

---

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:

a) y = x4 - 3x2 + 2

b) y = -x4 - 2x2 + 1

Hướng dẫn giải: 

Câu a:

TXĐ: D = R

\(\mathop {lim}\limits_{x \to  \pm \infty } y =  + \infty \)

\(y' = 4{x^3} - 6x;y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0;y\left( 0 \right) = 2\\
x =  \pm \sqrt {\frac{3}{2}} ;y\left( {\sqrt {\frac{3}{2}} } \right) =  - \frac{1}{4}
\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên 

\(y'' = 12{x^3} - 6;{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} y'' = 0 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt {\frac{1}{2}} ;{\mkern 1mu} {\kern 1pt} y = \left( { \pm \sqrt {\frac{1}{2}} } \right) = \frac{3}{4}\)

Xét dấu y''

Đồ thị có hai điểm uốn \({I_1}\left( { - \sqrt {\frac{1}{2}} ;\frac{3}{4}} \right);{I_2}\left( {\sqrt {\frac{1}{2}} ;\frac{3}{4}} \right)\)

Điểm đặc biệt: \(x =  \pm 1 \Leftrightarrow y = 0,x =  \pm \sqrt 2  \Leftrightarrow y = 0.\)

Đồ thị: Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

Câu b:

TXĐ: D = R

\(\mathop {lim}\limits_{x \to  \pm \infty } y =  - \infty \)

\(\begin{array}{l}
y\prime  =  - 4{x^3} - 4x =  - 4x({x^2} + 1)\\
y\prime  = 0 \Leftrightarrow x = 0;y(0) = 1
\end{array}\)

Bảng biến thiên

\(y'' =  - 12{x^2} - 4 =  - 4\left( {3{x^2} + 1} \right)\) với mọi x

Đồ thị không có điểm uốn

Điểm đặc biệt  \(x =  \pm 1 \Rightarrow y =  - 2\)

Đồ thị

Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng

---

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x3 - 3x2 + 1

b) Tùy theo các giá trị của mm, hãy biện luận số nghiệm của phương trình: x3 - 3x2 + m + 2 = 0

Hướng dẫn giải:

Câu a:

TXĐ: D = R

\(\mathop {lim}\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty ;\mathop {lim}\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty \)

\(y\prime  = 3{x^2} - 6x = 3x\left( {x - 2} \right);y\prime  = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0;y\left( 0 \right) = 1\\
x = 2;y\left( 2 \right) =  - 3
\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;0)và (2;+∞) nghịch biến trên khoảng (0; 2).

Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0, giá trị cực đại y(0) = 1; hàm số đat cực tiểu tại điểm x = 2, giá trị cực tiểu y(2) = − 3.

y'' = 6x − 6 ;y'' = 0 <=> x = 1; y(1) = −1

Xét dấu y''

Điểm uốn đồ thị I (1; -1)

Điểm đặc biệt x = −1 =>y = − 3

Đồ thị: đồ thị nhận điểm I(1;−1) làm tâm đối xứng.

Câu b:

Ta có: \({x^3} - 3{x^2} + m + 2 = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 1 =  - m - 1\)

Số nghiệm của phương trình trên bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + 1 và đường thẳng y = -m - 1. Dựa vào đồ thị ta có:

- Nếu −m−1 < −3 =>m > 2 thì phương trình có 1 nghiệm.

- Nếu −m−1=−3=> m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm.

- Nếu −3 < −m−1 < 1 => −2 < m < 2 thì phương trình có 3 nghiệm.

- Nếu −m−1 = 1=> m = −2 thì phương trình có 2 nghiệm

- Nếu −m−1 > 1 => m < −2 thì phương trình có 1 nghiệm.

---

Cho hàm số y = (x + 1)(x2 +2mx + m + 2)

a) Tìm các giá trị của mm để đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = −1

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Hoành độ giao điểm của đường cong đã cho và trục hoành là nghiệm của phương trình:

\((x + 1)({x^2} + 2mx + m + 2) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - 1\\
{x^2} + 2mx + m + 2 = 0\left( 1 \right)
\end{array} \right.\)

đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khia phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1, tức là:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\Delta \prime  > 0\\
f( - 1) \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} - m - 2 > 0\\
 - m + 3 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m <  - 1\\
m > 2
\end{array} \right.\\
m \ne 3
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow m \in ( - \infty ; - 1) \cup (2;3) \cup (3; + \infty )
\end{array}\)

Câu b:

TXĐ: D = R

\(\mathop {lim}\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty ;\mathop {lim}\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty \)

\(y\prime  = 3{x^2} - 2x - 1;y\prime  = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x =  - \frac{1}{3}
\end{array} \right.;y\left( 1 \right) = 0;y\left( { - \frac{1}{3}} \right) = \frac{{32}}{{27}}\)

Bảng biến thiên

Xét dấu y''

Điểm uốn \(I\left( {\frac{1}{3};\frac{{16}}{{27}}} \right)\)

Đồ thị đi qua:

x = 0 => y = 1

x = 2 => y = 3

x = -1 => y = 0

Đồ thị: Đồ thị nhận điểm uốn I làm tâm đối xứng.

---

Cho hàm số \(y = {x^4} - \left( {m + 1} \right){x^2} + m\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 2.

b) Chứng minh rằng đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của m

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Với m = 2 ta có \(y = {x^4} - 3{x^2} + 2\)

TXĐ: D = R

\(\mathop {lim}\limits_{x \to  \pm \infty } y =  + \infty \)

\(y\prime  = 4{x^3} - 6x;y\prime  = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x =  \pm \sqrt {\frac{3}{2}} 
\end{array} \right.;y\left( 0 \right) = 2;y\left( { \pm \sqrt {\frac{3}{2}} } \right) =  - \frac{1}{4}\)

Bảng biến thiên

\(y\prime \prime  = 12{x^2} - 6;y\prime \prime  = 0 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt {\frac{1}{2}} ;y\left( { \pm \sqrt {\frac{1}{2}} } \right) = \frac{3}{4}\)

Đồ thị có hai điểm uốn \({I_1}\left( { - \sqrt {\frac{1}{2}} ;\frac{3}{4}} \right);{I_2}\left( {\sqrt {\frac{1}{2}} ;\frac{3}{4}} \right)\)

Điểm đặc biệt

\(y = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} = 1\\
{x^2} = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  \pm 1\\
x =  \pm \sqrt 2 
\end{array} \right.\)

Đồ thị: Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

Câu b:

Đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm (x0; y0) khi và chỉ khi 

\({y_0} = x_0^4 - (m + 1)x_0^2 + m \Leftrightarrow (1 - x_0^2)m + x_0^4 - x_0^2 - {y_0} = 0\,\left( 1 \right)\)

Đồ thị đi qua điểm (x0; y0) với moi giá trị của mm khi và chỉ khi phương trình (1)(1)nghiệm đúng với mọi mm, tức là:

\(\left\{ \begin{array}{l}
1 - x_0^2 = 0\\
x_0^4 - x_0^2 - {y_0} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_0} = 1\\
{y_0} = 0
\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_0} =  - 1\\
{y_0} = 0
\end{array} \right.\)

Vậy với mọi giá trị của m, đồ thị của hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định (−1; 0) và (1; 0)

---

Cho hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + 2m\)

a) Tìm các giá trị của m sao cho hàm số có ba cực trị.
b) Kháo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 1/2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm 

Hướng dẫn giải:

Câu a:

TXĐ: D = R 

\(y' = 4{x^3} - 4mx = 4x\left( {{x^2} - m} \right);y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
{x^2} = m
\end{array} \right.\)

Nếu m > 0 thì y' = 0 <=> x = 0 hoặc \(x =  \pm \sqrt m \)

Hàm số có 3 điểm cực trị

Nếu \(m \le 0\) thì \({x^2} - m \le 0\) với mọi số thực x

Hàm số có 1 cực tiểu

Vậy hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi m > 0

Câu b:

Với m = 1/2 ta có \(y = {x^4} - {x^2} + 1\)

TXĐ: D = R

\(mathop {lim}\limits_{x \to  \pm \infty } y =  + \infty \)

\(y\prime  = 4{x^3} - 2x = 2x\left( {2{x^2} - 1} \right);y\prime  = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0;y\left( 0 \right) = 1\\
x =  \pm \sqrt {\frac{1}{2}} ;y\left( { \pm \sqrt {\frac{1}{2}} } \right) = \frac{3}{4}
\end{array} \right.\)

\(y\prime \prime  = 12{x^2} - 2;y\prime \prime  = 0 \Leftrightarrow x =  \pm \frac{{\sqrt 6 }}{6};y\left( { \pm \frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right) = \frac{{31}}{{36}}\)

Xét dấu y''

Đồ thi có hai điểm uốn \({I_1}\left( { - \frac{{\sqrt 6 }}{6};\frac{{31}}{{36}}} \right);{I_2}\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{6};\frac{{31}}{{36}}} \right)\)

Điểm đặc biệt \(x =  \pm 1 =  > y = 1\)

Đồ thị: Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

+ Phương trình tiếp tuyến tại \({I_1}\left( { - \frac{{\sqrt 6 }}{6};\frac{{31}}{{36}}} \right)\) là \(y - \frac{{31}}{{36}} = y'\left( { - \frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right)\left( {x + \frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right) \Leftrightarrow y = \frac{4}{{3\sqrt 6 }}x + \frac{{13}}{{12}}\)

Tương tự phương trình tiếp tuyến tại \({I_2}\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{6};\frac{{31}}{{36}}} \right)\) là \(y =  - \frac{4}{{3\sqrt 6 }}x + \frac{{13}}{{12}}\)

 

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 12  Chương 1 Bài 6 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một hàm số đa thức được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 12 học tập thật tốt!