Cơ sở và hệ quả của đạo hàm xuất hiện trong các bài tập Dao động điều hòa có đáp án

CƠ SỞ VÀ HỆ QUẢ CỦA ĐẠO HÀM XUẤT HIỆN TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

* Cơ sở:  

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = A\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)\\ x' = v = - \omega A\sin \left( {\omega t + \varphi } \right)\\ x'' = a = - {\omega ^2}A\cos \left( {\omega t + \varphi } \right) = - {\omega ^2}x\\ x''' = - {\omega ^2}x' = - {\omega ^2}v \end{array} \right.;\\ \left\{ \begin{array}{l} q = {Q_0}\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)\\ q' = i = - \omega {Q_0}\sin \left( {\omega t + \varphi } \right)\\ q'' = - {\omega ^2}{Q_0}\cos \left( {\omega t + \varphi } \right) = - {\omega ^2}q\\ q''' = - {\omega ^2}q' = - {\omega ^2}i \end{array} \right. \end{array}\)

* Hệ quả:  

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \left( {\frac{x}{v}} \right)' = \frac{{x'v - xv'}}{{{v^2}}} = \frac{{{v^2} + {\omega ^2}{x^2}}}{{{v^2}}}\\ \left( {xv} \right)' = x'v + xv' = {v^2} - {\omega ^2}{x^2}\\ \left( {\frac{v}{a}} \right)' = \left( {\frac{v}{{ - {\omega ^2}x}}} \right)' = \frac{1}{{ - {\omega ^2}}}\frac{{v'x - vx'}}{{{x^2}}} = \frac{{{v^2} + {\omega ^2}{x^2}}}{{{\omega ^2}{x^2}}} \end{array} \right.;\\ \left\{ \begin{array}{l} \left( {\frac{q}{i}} \right)' = \frac{{{i^2} + {\omega ^2}{q^2}}}{{{i^2}}}\\ \left( {qi} \right)' = {i^2} - {\omega ^2}{q^2}\\ \left( {\frac{i}{{i'}}} \right)' = \frac{{{i^2} + {\omega ^2}{q^2}}}{{{\omega ^2}{q^2}}} \end{array} \right. \end{array}\)

Câu 1. Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương với phương trình lần lượt là x1 = A1cos(ωt + φ1) cm và x2 = A2cos(ωt + φ2) cm. Gọi v1, v2 là vận tốc tức thời tương ứng với hai dao động thành phần x1 và x2. Biết luôn luôn có v2 =2ωx1. Khi \({x_1} = 2\sqrt 2 cm;{x_2} = 4\,cm\)  thì tốc độ dao động của vật là?

A. v = 5,26ω.              B. v = 4,25ω.                         

C. v = 3,46ω.              D. v = 3,66ω

Hướng dẫn

Câu 2. (150177BT) Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương với phương trình lần lượt là  \({x_1} = {A_1}\cos \left( {\omega t + {\varphi _1}} \right)\,\left( {cm} \right);{x_2} = {A_2}\cos \left( {\omega t + {\varphi _2}} \right)\,\,\left( {cm} \right).\). Biết tại mọi thời điểm thì \({v_2} = 2\omega {x_1}\) . Tại thời điểm  \({x_1} = 2\sqrt 3 \) thì x2 = 4cm và tốc độ dao động của vật gần giá trị nào nhất sau đây?

A. 5ω cm/s.                 B. \(4\sqrt 5 \omega \)  cm/s.                        

C. 6ωcm/s                   D. 3ω cm.s

Hướng dẫn

Câu 3. Hai mạch dao động LC lý tường đang hoạt động. Tại thời điểm t, điện tích trên mỗi tụ là q1 và q2 và dòng điện trong hai mạch lần lượt là i1 = I01 cos(ωt + φ1 ) (A) ;  \({i_2} = {I_{02}}\cos \left( {\omega t + {\varphi _2}} \right)\left( {cm} \right)\). Biết tại mọi thời điểm i2 = 2ωq1. Tại thời điểm i1 = 2mA thì i2 = 4mA, lúc này tổng điện tích trên hai bản tụ của hại mạch có độ lớn bao nhiêu?

A. 2/ω mC.                   B. 3/ω mC.                             

C. 4/ω mC.                  D. 1,5/ω mC.

Hướng dẫn

Câu 4. (CĐ−2012) Hai vật dao động điều hòa dọc theo các trục song song với nhau. Phương trình dao động của các vật lần lượt là  \({x_1} = {A_1}\cos \omega t\,\left( {cm} \right);{x_2} = {A_2}\sin \omega t\,\,\left( {cm} \right)\)

Biết  \(64x_1^2 + 36x_2^2 = {48^2}\left( {c{m^2}} \right)\). Tại thời điểm t, vật thứ nhất đi qua vị trí có li độ x1 = 3 cm với vận tốc \({v_1} = - 18cm/s.\)  Khi đó vật thứ hai có tốc độ bằng:

A.  \(24\sqrt 3 cm/s.\)        B.     \(8\sqrt 3 cm/s.\)                        

C.   8cm/s.                  D. 24cm/s.

Hướng dẫn

Câu 5. (ĐH − 2013): Hai mạch dao động điện từ lý tưởng đang có dao động điện từ tự do. Điện tích của tụ điện trong mạch dao động thứ nhất và thứ hai lần lượt là qi và q2 với  \(4q_1^2 = q_2^2 = 1,{3.10^{ - 17}}\), q tính bằng C.  Ở thời điểm t, điện tích của tụ điện và cường độ dòng điện trong mạch dao động thứ nhất lần lượt là 10−9 C và 6 mA, cường độ dòng điện trong mạch dao động thứ hai có độ lớn bằng :

A. 10mA.                                B. 6 mA.                                

C.  4 mA.                                D. 8 mA.

Hướng dẫn