Chuyên đề tìm số phức liên hợp Toán 12

1. Định nghĩa số phức

Định nghĩa:

Một số phức là một biểu thức dạng \(z = a + bi\) với \(a,b \in \mathbb{R}\) và \({i^2} = – 1\), trong đó: \(i\) được gọi là đơn vị ảo, \(a\) được gọi là phần thực và \(b\) được gọi là phần ảo của số phức .

\(z = a + bi\)

Tập hợp các số phức được kí hiệu là \(\mathbb{C}\) tức là \(\mathbb{C} = \left\{ {a + bi/a,b \in \mathbb{R};{i^2} = – 1} \right\}\).

Chú ý:

– Khi phần ảo \(b = 0 \Leftrightarrow z = a\) là số thực.

– Khi phần thực \(a = 0 \Leftrightarrow z = bi \Leftrightarrow z\) là số thuần ảo.

– Số \(0 = 0 + 0i\) vừa là số thực, vừa là số ảo.

Hai số phức bằng nhau: \(a + bi = c + di \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = c}\\{b = d}\end{array}} \right.\) với \(a,b,c,d \in \mathbb{R}\).

Hai số phức \({z_1} = a + bi;{\rm{ }}{z_2} = – a – bi\) được gọi là hai số phức đối nhau.

2. Số phức liên hợp.

Số phức liên hợp của \(z = a + bi\) với \(a,b \in \mathbb{R}\) là \(a – bi\) và được kí hiệu bởi \(\overline z \) . Rõ ràng \(\overline {\overline z } = z\)

3. Biểu diễn hình học.

Trong mặt phẳng phức \(Oxy\) (\(Ox\) là trục thực, \(Oy\) là trục ảo ), số phức \(z = a + bi\) với \(a,b \in \mathbb{R}\) được biểu diễn bằng điểm \(M\left( {a;b} \right)\).

4. Mô đun của số phức.

Môđun của số phức \(z = a + bi{\rm{ }}\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) là \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

5. Các phép toán trên tập số phức.

Cho hai số phức: \(z = a + bi\); \(z’ = a’ + b’i{\rm{ }}\)với \(a,b,a’,b’ \in \mathbb{R}\)và số \(k \in \mathbb{R}\).

Tổng hai số phức: \(z + z’ = a + a’ + (b + b’)i\).

Hiệu hai số phức: \(z – z’ = a – a’ + (b – b’)i{\rm{ }}{\rm{.}}\)

Nhân hai số phức: \(z.z’ = \left( {a + bi} \right)\left( {a’ + b’i} \right) = \left( {a.a’ – b.b’} \right) + \left( {a.b’ + a’.b} \right)i\).

Nếu \(z \ne 0\) thì \(\frac{{z’}}{z} = \frac{{z’.\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}}\), nghĩa là nếu muốn chia số phức \(z’\) cho số phức \(z \ne 0\) thì ta nhân cả tử và mẫu của thương \(\frac{{z’}}{z}\)cho \(\overline z \).

Ví dụ: Số phức liên hợp của số phức \(z = 3 + 2i\) là

A. \(\bar z = 3 – 2i\). 

B. \(\bar z = 2 + 3i\). 

C. \(\bar z = – 3 + 2i\). 

D. \(\bar z = – 3 – 2i\).

Lời giải

Chọn A

Số phức \(z = 3 + 2i\) có số phức liên hợp là \(\bar z = 3 – 2i\).

Mức độ 1

Câu 1. Tìm số phức liên hợp của số phức \(z = – i\).

A. \(\bar z = i\). 

B. \(\bar z = 1\). 

C. \(\bar z = – i\). 

D. \(\bar z = – 1\).

Lời giải

Chọn A

Câu 2. Cho số phức \(z = – 2 + 3i\). Số phức liên hợp của \(z\) là?

A. \(\bar z = \sqrt {13} \). 

B. \(\bar z = 2 – 3i\).

 C. \(\bar z = 3 – 2i\). 

D. \(\bar z = – 2 – 3i\).

Lời giải

Chọn D

\(\bar z = – 2 – 3i\).

Câu 3. Số phức \(z\) thỏa mãn \(\overline z = – 3 – 2i\) là

A. \(z = – 3 – 2i\) 

B. \(z = – 3 + 2i\) 

C. \(z = 3 – 2i\) 

D. \(z = 3 + 2i\)

Lời giải

Chọn B

Ta có \(\overline z = – 3 – 2i\) suy ra \(z = – 3 + 2i\).

Câu 4. Tìm số phức liên hợp của số phức \(z = \left( {2 + i} \right)\left( { – 3i} \right).\)

A. \(\bar z = 3 – 6i\). 

B. \(\bar z = 3 + 6i\). 

C. \(\bar z = – 3 + 6i\). 

D. \(\bar z = – 3 – 6i\).

Lời giải

Chọn B

Ta có: \(z = \left( {2 + i} \right)\left( { – 3i} \right) = 3 – 6i  \Rightarrow \bar z = 3 + 6i\).

Câu 5. Tìm số phức liên hợp của số phức \(z = \left( {2 – 3i} \right)\left( {3 + 2i} \right)\).

A. \(\overline z = 12 – 5i\). 

B. \(\overline z = – 12 + 5i\). 

C. \(\overline z = – 12 – 5i\). 

D. \(\overline z = 12 + 5i\).

Lời giải:

Chọn D

Ta có \(z = \left( {2 – 3i} \right)\left( {3 + 2i} \right)  = 6 – 5i – 6{i^2} = 12 – 5i  \Rightarrow \overline z = 12 + 5i\).

Mức độ 2

Câu 1. Cho số phức \(z\) thoả mãn \(\frac{z}{{3 + 2i}} = 1 – i\) Số phức liên hợp \(\bar z\) là.

A. \(\bar z = 5 + i\). 

B. \(\bar z = – 5 – i\).

C. \(\bar z = – 1 – 5i\). 

D. \(\bar z = – 1 + 5i\).

Lời giải

Chọn A

\(z = \left( {3 + 2i} \right)\left( {1 – i} \right) = 5 – i\).

Số phức liên hợp \(\bar z = 5 + i\).

Câu 2. Tìm số phức liên hợp của số phức \(z = \left( {2 + i} \right)\left( { – 1 + i} \right){\left( {2i + 1} \right)^2}\).

A. \(\bar z = 5 + 15i\). 

B. \(\bar z = 5 + 5i\). 

C. \(\bar z = 1 + 3i\). 

D. \(\bar z = 5 – 15i\).

Lời giải:

Chọn A

\(z = (2 + i)( – 1 + i){(2i + 1)^2} = \left( { – 3 + i} \right)\left( { – 3 + 4i} \right) = 5 – 15i  \Rightarrow \bar z = 5 + 15i\).

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Chuyên đề tìm số phức liên hợp Toán 12. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Chuyên đề tìm điểm biểu diễn của số phức Toán 12

• Lý thuyết và bài tập về dạng lượng giác của số phức

Chúc các em học tốt!