Chuyên đề tìm số phức thông qua các giả thiết bài toán

Vấn đề ①: Thực hiện các phép tính về số phức

Phương pháp:

①. Dạng đại số của số phức

\(z = a + bi\) \(a,b \in \mathbb{R}\)

\(a\): phần thực số phức \(z\); \(b\): phần ảo của số phức \(z\); \(i\): đơn vị ảo (\({i^2} = – 1\))

②. Các phép toán cộng, trừ, nhân các số phức:

\({z_1} = {a_1} + b{}_1i\); \({z_2} = {a_2} + b{}_2i\) (\({a_1},{a_2},{b_1},{b_2} \in \mathbb{R}\))

• Phép cộng 2 số phức: \({z_1}{z_2} = ({a_1}{a_2} – {b_1}{b_2}) + ({a_1}{b_2} + {a_2}{b_1})i\)

• Phép trừ của 2 số phức: \({z_1} – {z_2} = ({a_1} – {a_2}) + ({b_1} – {b_2})i\)

• Số đối của số phức: \(z = a + bi\) (\(a,b \in \mathbb{R}\)) là số phức \( – z = – a – bi\).

• Phép nhân của số phức:\({z_1}{z_2} = ({a_1}{a_2} – {b_1}{b_2}) + ({a_1}{b_2} + {a_2}{b_1})i\)

③. Nhận xét:

Với mọi số thực k và mọi số phức \(z = a + bi\),

• \(k(a + bi) = ka + kbi\); . \(0z = 0\)

Vấn đề ②: Xác định các yếu tố cơ bản của số phức qua phép toán.

Phương pháp:

①. Số phức \(z\) là biểu thức có dạng \(z = a + bi\quad \left( {a,b \in R,{i^2} = – 1} \right)\). Khi đó:

Phần thực của \(z\) là \(a\), phần ảo của \(z\) là \(b\)và \(i\) được gọi là đơn vị ảo.

②. Đặc biệt:

• Số phức \(z = a + 0i\) có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết là \(z = a\)

• Số phức \(z = 0 + bi\) có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo (hay số thuần ảo) và viết là \(z = bi\)

• Số \(i = 0 + 1i = 1i\).

• Số:0 = 0 + 0i vừa là số thực vừa là số ảo.

Vấn đề ③: Bài toán quy về giải phương trình, hệ phương trình

Phương pháp:

①. Sử dụng tính chất hai số phức bằng nhau.

Cho hai số phức \({z_1} = {a_1} + {b_1}i\), \({z_2} = {a_2} + {b_2}i\) \(\left( {{a_1},{a_2},{b_2},{b_2} \in R} \right)\). Khi đó:

\({z_1} = {z_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {a_2}\\{b_1} = {b_2}\end{array} \right.\)

②. Số phức liên hợp, mo đun của số phức: Cho số phức \(z = a + bi\).

• Số phức liên hợp của \(z\) là \(\overline z = \overline {a + bi} = a – bi\) (\(a,b \in \mathbb{R}\)) .

• Tổng và tích của \(z\) và \(\overline z \) luôn là một số thực.

\(\overline {{z_1} \pm {z_2}} = \overline {{z_1}} \pm \overline {{z_2}} \).

\(\overline {{z_1}.{z_2}} = \overline {{z_1}} .\overline {{z_2}} \).

• Mô đun của số phức \(\left| z \right| = \left| {\overrightarrow {OM} } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

\(\left| z \right| = \sqrt {z.\overline z } \) ; \(\left| z \right| = \left| {\overline z } \right|\).

Ví dụ: Nếu hai số thực \(x,y\) thỏa mãn \(x\left( {3 + 2i} \right) + y\left( {1 – 4i} \right) = 1 + 24i\) thì \(x – y\) bằng?

Ⓐ. \(3\).

Ⓑ. \( – 3\). 

Ⓒ. \( – 7\). 

Ⓓ. \(7\)

Lời giải

Chọn D

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,x\left( {3 + 2i} \right) + y\left( {1 – 4i} \right) = 1 + 24i\\ \Leftrightarrow 3x + y + \left( {2x – 4y} \right)i = 1 + 24i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + y = 1\\2x – 4y = 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = – 5\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy: \(x – y = 7\)

Mức độ 1

Câu 1: Cho hai số phức \({z_1} = 2 – 4i\) và \({z_2} = 1 – 3i.\) Phần ảo của số phức \({z_1} + i\overline {{z_2}} \) bằng

A.5. 

B.3i. 

C. – 5i. 

D. – 3.

Lời giải

Chọn D

Ta có: \({z_2} = 1 – 3i \Rightarrow \overline {{z_2}} = 1 + 3i \Rightarrow i\overline {{z_2}} = i\left( {1 + 3i} \right) = 3{i^2} + i = – 3 + i\)

Suy ra \({z_1} + i\overline {{z_2}} = 2 – 4i + \left( { – 3 + i} \right) = – 1 – 3i\).

Vậy phần ảo của số phức \({z_1} + i\overline {{z_2}} \) là – 3.

Câu 2: Cho hai số phức \({z_1} = 1 – 8i\) và \({z_2} = 5 + 6i.\) Phần ảo của số phức liên hợp \(z = {z_2} – i\overline {{z_1}} \) bằng

A.5. 

B.5i. 

C.– 5. 

D.– 5i.

Lời giải

Chọn C

Ta có: \({z_1} = 1 – 8i \Rightarrow {\overline z _1} = 1 + 8i \Rightarrow i{\overline z _1} = i\left( {1 + 8i} \right) = 8{i^2} + i = – 8 + i.\)

Suy ra \(z = {z_2} – i\overline {{z_1}} = 5 + 6i – \left( { – 8 + i} \right) = 13 + 5i \Rightarrow \overline z = 13 – 5i\).

Vậy phần ảo của số phức liên hợp \(z = {z_2} – i\overline {{z_1}} \) là – 5.

Câu 3: Cho hai số phức \({z_1} = 2 + 3i\) và \({z_2} = 6i.\) Phần ảo của số phức\(z = i{z_1} – \overline {{z_2}} \) bằng

A.– 4i. 

B.– 4. 

C.8i. 

D.8.

Lời giải

Chọn D

Ta có: \({z_1} = 2 + 3i \Rightarrow i{z_1} = i\left( {2 + 3i} \right) = 3{i^2} + 2i = – 3 + 2i.\)

\({z_2} = 6i \Rightarrow {\overline z _2} = – 6i \Rightarrow z = i{z_1} – \overline {{z_2}} = – 3 + 2i – \left( { – 6i} \right) = – 3 + 8i.\)

Vậy phần ảo của số phức\(z = i{z_1} – \overline {{z_2}} \)là 8.

Câu 4: Cho hai số phức \({z_1} = 1 + 2i\) và \({z_2} = 2 – 3i\). Phần ảo của số phức liên hợp \(z = 3{z_1} – 2{z_2}\).

A.12. 

B.– 12. 

C.1. 

D.– 1.

Lời giải

Chọn B

Ta có \(z = 3{z_1} – 2{z_2} = 3\left( {1 + 2i} \right) – 2\left( {2 – 3i} \right) = \left( {3 + 6i} \right) + \left( { – 4 + 6i} \right) = – 1 + 12i.\)

Số phức liên hợp của số phức \(z = 3{z_1} – 2{z_2}\) là \(\overline z = \overline { – 1 + 12i} = – 1 – 12i\).

Vậy phần ảo của số phức liên hợpcủa số phức \(z = 3{z_1} – 2{z_2}\) là – 12.

Mức độ 2

Câu 1: Cho số phức \(z = a + bi{\rm{ }}\left( {a;{\rm{ }}b \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(iz = 2\left( {\bar z – 1 – i} \right).\) Tính \(S = ab.\)

A.\(S = – 4\). 

B.\(S = 4\). 

C.\(S = 2.\) 

D.\(S = – 2.\)

Lời giải

Chọn A

Đặt \(z = a + bi{\rm{ }}\left( {a;{\rm{ }}b \in \mathbb{R}} \right)\), suy ra \(\bar z = a – bi\).

Ta có \(iz = 2\left( {\bar z – 1 – i} \right) \Leftrightarrow i\left( {a + bi} \right) = 2\left( {a – bi – 1 – i} \right) \Leftrightarrow – b + ai = 2a – 2 + \left( { – 2b – 2} \right)i\)

Câu 2: Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(z.\bar z = 10\left( {z + \bar z} \right)\) và \(z\) có phần ảo bằng ba lần phần thực?

A.0. 

B.1. 

C.2. 

D.3.

Lời giải

ChọnC

Đặt \(z = a + bi{\rm{ }}\left( {a;{\rm{ }}b \in \mathbb{R}} \right)\), suy ra \(\bar z = a – bi\).

Từ \(\left( 1 \right)\)

Hơn nữa, số phức \(z\) có phần ảo bằng ba lần phần thực nên \(b = 3a\). \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 20a\\b = 3a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 6\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right.\).

Vậy có 2 số phức cần tìm là: \(z = 2 + 6i\) và \(z = 0\).

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Chuyên đề tìm số phức thông qua các giả thiết bài toán. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Chuyên đề tìm điểm biểu diễn của số phức Toán 12

• Lý thuyết và bài tập về dạng lượng giác của số phức

Chúc các em học tốt!