Chuyên đề Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1 Toán lớp 9

Chuyên đề

CÁCH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 1

+ Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ phương trình mà khi ta thay đổi vai trò x, y cho nhau thì phương trình không thay đổi

+ Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)

+ Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S và P là \({{S}^{2}}\ge 4P\)

+ Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P rồi tìm x, y

Bài 1: Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}
x + y + xy = 11\\
{x^2}y + {y^2}x = 30
\end{array} \right.\) 

Lời giải:

Có \(\left\{ \begin{array}{l}
x + y + xy = 11\\
{x^2}y + {y^2}x = 30
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y + xy = 11\\
xy\left( {x + y} \right) = 30
\end{array} \right.\) 

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
S = x + y\\
P = xy
\end{array} \right.\left( {{S^2} \ge 4P} \right)\) 

Hệ phương trình trở thành:

\(\left\{ \begin{array}{l}
S + P = 11\\
S.P = 30
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
S = 11 - P\\
\left( {11 - P} \right)P = 30
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
S = 11 - P\\
 - {P^2} + 11P - 30 = 0
\end{array} \right.\) 

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
S = 11 - P\\
\left[ \begin{array}{l}
P = 5\\
P = 6
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
S = 6\\
P = 5
\end{array} \right.\left( {tm} \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
S = 5\\
P = 6
\end{array} \right.\left( {tm} \right)
\end{array} \right.\) 

Với \(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
S = 6\\
P = 5
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = 6\\
xy = 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 6 - y\\
\left( {6 - y} \right)y = 5
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = 6 - y\\
 - {y^2} + 6y - 5 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = 5
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = 5\\
y = 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array}\) 

Với \(\left\{ \begin{array}{l}
S = 5\\
P = 6
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = 5\\
xy = 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 5 - y\\
\left( {5 - y} \right)y = 6
\end{array} \right.\) 

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = 5 - y\\
 - {y^2} + 5y - 6 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 3
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = 3\\
y = 2
\end{array} \right.
\end{array} \right.\) 

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( x;y \right)=\left( 1;5 \right);\left( x;y \right)=\left( 5;1 \right);\left( x;y \right)=\left( 2;3 \right)\) và \(\left( x;y \right)=\left( 3;2 \right)\)

Bài 2: Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} - {y^3} = 7\\
xy\left( {x - y} \right) = 2
\end{array} \right.\) 

Lời giải:

Có  

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} - {y^3} = 7\\
xy\left( {x - y} \right) = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) = 7\\
xy\left( {x - y} \right) = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {x - y} \right)\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + 3xy} \right] = 7\\
xy\left( {x - y} \right) = 2
\end{array} \right.\) 

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
a = x - y\\
b = xy
\end{array} \right.\) 

Hệ phương trình trở thành:

\(\left\{ \begin{array}{l}
a\left( {{a^2} + 3b} \right) = 7\\
ab = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^3} + 3ab = 7\\
ab = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^3} + 6 = 7\\
ab = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^3} = 1\\
ab = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = 2
\end{array} \right.\) 

Với \(\left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = 2
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - y = 1\\
xy = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + y\\
\left( {1 + y} \right)y = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + y\\
{y^2} + y - 2 = 0
\end{array} \right.\) 

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 1\\
y = 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 - 2\\
y =  - 2
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x =  - 1\\
y =  - 2
\end{array} \right.
\end{array} \right.\) 

Vậy hệ phương trình có nghiệm \[\left( x;y \right)=\left( 2;1 \right);\left( x;y \right)=\left( -1;-2 \right)\]

Bài 1: Giải các hệ phương trình dưới đây:

1, \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} + xy + {y^3} = 3\\
2x + xy + 2y =  - 3
\end{array} \right.\) 

2, \(\left\{ \begin{array}{l}
x + y + 2xy = 2\\
{x^3} + {y^3} = 8
\end{array} \right.\) 

3, \(\left\{ \begin{array}{l}
x + y + 2xy = 5\\
{x^2} + {y^2} + xy = 7
\end{array} \right.\) 

4, \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + xy + {y^2} = 7\\
{x^4} + {y^4} + {x^2}{y^2} = 21
\end{array} \right.\) 

5, \(\left\{ \begin{array}{l}
x + y + 2xy = 2\\
{x^3} + {y^3} = 8
\end{array} \right.\) 

6, \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} + {y^3} = 19\\
\left( {x + y} \right)\left( {8 + xy} \right) = 2
\end{array} \right.\) 

Trên đây là nội dung tài liệu Chuyên đề Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1 Toán lớp 9. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.