Phương pháp tìm nghiệm của phương trình, bất phương trình lôgarit

- Phương pháp:

\({\log _a}x = b \Leftrightarrow x = {a^b}\)

\({\log _a}f\left( x \right) = b \Leftrightarrow f\left( x \right) = {a^b}\)

Ví dụ 1: Tìm nghiệm của phương trình \({\log _2}(x – 1) = 3\).

Ⓐ. \(x = 9\). 

Ⓑ. \(x = 7\). 

Ⓒ.\(x = 8\). 

Ⓓ. \(x = 10\).

Lời giải

Chọn A

\({\log _2}\left( {x – 1} \right) = 3 \Leftrightarrow x – 1 = {2^3} \Leftrightarrow x = 9\)

Ví dụ 2: Tìm nghiệm của phương trình \({\log _9}\left( {x + 1} \right) = \frac{1}{2}\).

Ⓐ. \(x = 2\). 

Ⓑ. \(x = – 4\). 

Ⓒ.\(x = 4\). 

Ⓓ. \(x = \frac{7}{2}\)

Lời giải

Chọn A

\({\log _9}\left( {x + 1} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x + 1 = {9^{\frac{1}{2}}} \Leftrightarrow x = 2\)

Phương pháp:

\({\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right),0 < a \ne 1;f\left( x \right) > 0\,;\,\left( {hay\,\,g\left( x \right) > 0} \right)\)

Ví dụ 3: Phương trình \({\log _3}\left( {5x – 3} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {{x^2} + 1} \right) = 0\) có 2 nghiệm \({x_1}\,;\,{x_2}\) trong đó \({x_1} < {x_2}\). Giá trị của \(P = 2{x_1} + 3{x_2}\) là

Ⓐ. \(13\). 

Ⓑ. \(14\).

Ⓒ.\(3\). 

Ⓓ. \(5\).

Lời giải

Chọn B

Phương trình tương đương với \({\log _3}\left( {5x – 3} \right) = {\log _3}\left( {{x^2} + 1} \right)\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1 = 5x – 3\\5x – 3 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right.\), do \({x_1} < {x_2}\) nên \({x_1} = 1\,;\,{x_2} = 4\)

Suy ra \(P = 2{x_1} + 3{x_2} = 2 + 12 = 14\).

Ví dụ 4: Cho phương trình \(2{\log _9}x + {\log _3}\left( {10 – x} \right) = {\log _2}9.{\log _3}2\). Hỏi phương trình đã cho có mấy nghiêm

Ⓐ. \(4\). 

Ⓑ. \(3\). 

Ⓒ.\(1\). 

Ⓓ. \(2\).

Lời giải

Chọn D

Điều kiện \(0 < x < 10\)

Ta có : \(2{\log _9}x + {\log _3}\left( {10 – x} \right) = {\log _2}9.{\log _3}2 \Leftrightarrow {\log _3}x + {\log _3}\left( {10 – x} \right) = 2\)

\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x\left( {10 – x} \right)} \right) = 2 \Leftrightarrow – {x^2} + 10x – 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\,\,\left( {{\rm{nhận}}} \right)\\x = 9\,\,\,\left( {{\rm{nhận}}} \right)\end{array} \right.\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {1\,;\,9} \right\}\).

Phương pháp:

Dạng: \(A.\log _a^2f\left( x \right) + B.{\log _a}f\left( x \right) + C = 0\)

Đặt \(t = {\log _a}f\left( x \right),f\left( x \right) > 0\).

Khi đó, phương trình trở thành : \(A.{t^2} + B.t + C = 0\).

Giải phương trình tìm \(t\) , thay \(t\) vào cách đặt để tìm \(x\)thỏa ĐK.

Chú ý : Nếu đặt \(t = {\log _a}f\left( x \right)\) thì \(\log _a^2f\left( x \right) = {t^2},{\rm{ }}{\log _{\frac{1}{a}}}f\left( x \right) = – t,{\rm{ }}{\log _{{a^2}}}f\left( x \right) = \frac{1}{2}t,….\)

Ví dụ 5: Tích tất cả các nghiệm của phương trình\(\log _3^2x – 2{\log _3}x – 7 = 0\) là

Ⓐ. 9.  

Ⓑ. -7.   

Ⓒ. 1.    

Ⓓ. 2.

Lời giải

Chọn A

Điều kiện : \(x > 0\).

Đặt \(t = {\log _3}x\) . Khi đó pt trở thành :

\({t^2} – 2t – 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 + 2\sqrt 2 \\t = 1 – 2\sqrt 2 \end{array} \right.\)

Với \(\left[ \begin{array}{l}{\log _3}x = 1 + 2\sqrt 2 \\{\log _3}x = 1 – 2\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = {3^{1 + 2\sqrt 2 }}{\rm{ }}(n)\\{x_2} = {3^{1 – 2\sqrt 2 }}{\rm{ }}(n)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {x_1}.{x_2} = 9\)

Ví dụ 6: Số nghiệm của phương trình \(\log _2^2{x^2} + 8{\log _2}x + 4 = 0\) là

Ⓐ. \(x = 2\). 

Ⓑ. \(x = 3\). 

Ⓒ.\(x = 1\). 

Ⓓ. \(x = 0\).

Lời giải

Chọn D

Điều kiện : \(x > 0\).

\(\begin{array}{l}{\rm{ }}\log _2^2{x^2} + 8{\log _2}x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2{{\log }_2}x} \right)^2} + 8{\log _2}x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow 4{\left( {{{\log }_2}x} \right)^2} + 8{\log _2}x + 4 = 0\end{array}\)

Đặt \(t = {\log _2}x\) . Khi đó pt trở thành :

\(4{t^2} + 8t + 4 = 0 \Leftrightarrow t = – 1\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}x = – 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\left( n \right)\).

Câu 1: Phương trình \({\log _2}\left( {x – 2} \right) = 1\) có nghiệm là

A. \(x = 4\). 

B. \(x = 1\). 

C. \(x = 3\). 

D. \(x = 2\).

Câu 2: Tìm các nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {2x – 3} \right) = 2\).

A. \(x = \frac{{11}}{2}\). 

B. \(x = \frac{9}{2}\). 

C. \(x = 6\). 

D. \(x = 5\).

Câu 3: Phương trình \({\log _3}\left( {3x – 2} \right) = 3\) có nghiệm là

A. \(x = \frac{{25}}{3}\). 

B. \(x = \frac{{29}}{3}\). 

C. \(x = 87\). 

D. \(x = \frac{{11}}{3}\).

Câu 4: Cho phương trình \({\log _3}(x – 1) = 1\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(x \in \left( {1;3} \right)\). 

B. \(x \in \left( {0;2} \right)\). 

C. \(x \in \left( {3;4} \right)\). 

D. \(x \in \left( {3;5} \right)\).

Câu 5: Tập nghiệm \(S\) của phương trình \({\log _3}\left( {2x + 3} \right) = 1\).

A. \(S = \left\{ 3 \right\}\). 

B. \(S = \left\{ { – 1} \right\}\). 

C. \(S = \left\{ 0 \right\}\). 

D. \(S = \left\{ 1 \right\}\).

Câu 6: Tìm tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x – 3} \right) \ge {\log _{\frac{1}{2}}}4\).

A. \(S = \left( {3;\;7} \right]\).

B. \(S = \left[ {3;\;7} \right]\).

C. \(S = \left( { – \infty ;\;7} \right]\).

D. \(S = \left[ {7;\; + \infty } \right)\).

Câu 7: Tìm nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {{{\log }_2}x} \right) = 1\).

A. \(x = 2\). 

B. \(x = 6\). 

C. \(x = 8\). 

D. \(x = 9\).

Câu 8: Phương trình \(\log (x + 1) = 2\)có nghiệm là

A. 19.

B. 1023.

C. 101.

D. 99.

Câu 9: Tìm nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {x – 5} \right) = 4\).

A. \(x = 11\). 

B. \(x = 21\). 

C. \(x = 3\). 

D. \(x = 13\).

Câu 10: Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _2}\left( {{x^2} – 1} \right) \ge 3\) là:

A. \(\left( { – \infty ; – 3} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\). 

B. \(\left[ { – 3;3} \right]\).

C. \(\left[ { – 2;2} \right]\). 

D. \(\left( { – \infty ; – 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).

ĐÁP ÁN

1.A

2.C

3.B

4.D

5.C

6.A

7.C

8.D

9.B

10.A

 

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp tìm nghiệm của phương trình, bất phương trình lôgarit. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp tìm nghiệm của phương trình mũ Toán 12

• Chuyên đề ôn thi THPT QG về bất phương trình mũ

Chúc các em học tốt!