Giải bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 2: Giới hạn của hàm số

Quan sát hình bên, cho biết hình chữ nhật OHMK thay đổi nhưng điểm M luôn nằm trên đồ thị hàm số $y=\frac{1}{x^2}$ (x > 0). Diện tích hình chữ nhật sẽ thay đổi như thế nào khi điểm H tiến gần đến gốc tọa độ? Khi H tiến xa sang phía bên phải thì sao?

Xét hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} - 2}}{{x - 1}}$.

a) Bảng sau đây cho biết giá trị của hàm số tại một số điểm gần điểm 1.

Có nhận xét gì về giá trị của hàm số khi $x$ càng gần đến 1?

b) Ở Hình 1, $M$ là điểm trên đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$; $H$ và $P$ lần lượt là hình chiếu của điểm $M$ trên trục hoành và trục tung. Khi điểm $H$ thay đổi gần về điểm $\left( {1;0} \right)$ trên trục hoành thì điểm $P$ thay đổi như thế nào?

Tính các giới hạn sau:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {2{x^2} - x} \right)$;

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x + 1}}$.

Cho hai hàm số và $y = g\left( x \right) = \frac{x}{{x + 1}}$.

a) Giả sử $\left( {{x_n}} \right)$ là dãy số bất kì thoả mãn ${x_n} \ne - 1$ với mọi $n$ và ${x_n} \to 1$ khi $n \to + \infty$. Tìm giới hạn $\lim \left[ {f\left( {{x_n}} \right) + g\left( {{x_n}} \right)} \right]$.

b) Từ đó, tìm giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]$, và so sánh với $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\rm{ }}f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)$.

Tìm các giới hạn sau:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {{x^2} + 5x - 2} \right)$;

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}$.

Giá cước vận chuyển bưu kiện giữa hai thành phố do một đơn vị cung cấp được cho bởi bảng sau:

Nếu chỉ xét trên khoảng từ 0 đến 5 (tính theo 100 gam) thì hàm số giả cước (tính theo nghìn đồng) xác định như sau:

$f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}6&{khi\,\,x \in \left( {0;1} \right]}\\7&{khi\,\,x \in \left( {1;2,5} \right]}\\{10}&{khi\,\,x \in \left( {2,5;5} \right]}\end{array}} \right.$

Đồ thị của hàm số như Hình 2.

a) Giả sử $\left( {{x_n}} \right)$ là dãy số bất kì sao cho $x \in \left( {1;2,5} \right)$ và $\lim {x_n} = 1$. Tìm $\lim f\left( {{x_n}} \right)$.

b) Giả sử $\left( {{x_n}'} \right)$ là dãy số bất kì sao cho ${x_n}' \in \left( {0;1} \right)$ và $\lim {x_n}' = 1$. Tìm $\lim f\left( {{x_n}'} \right)$.

c) Nhận xét về kết quả ở a) và b)

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - 2x}&{khi\,\,x \le - 1}\\{{x^2} + 2}&{khi\,\,x > - 1}\end{array}} \right.$.

Tìm các giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} {\rm{ }}f\left( x \right)$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f\left( x \right)$ (nếu có).

Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{x}$ có đồ thị như Hình 3.

a) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

Từ đồ thị và bảng trên, nêu nhận xét về giá trị $f\left( x \right)$ khi $x$ càng lớn (dần tới $+ \infty$)?

b) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

Từ đồ thị và bảng trên, nêu nhận xét về giá trị $f\left( x \right)$ khi $x$ càng bé (dần tới $- \infty$)?

Tìm các giới hạn sau:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 - 3{x^2}}}{{{x^2} + 2x}}$;

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{2}{{x + 1}}$.

Một cái hồ đang chứa $200{m^3}$ nước mặn với nồng độ muối $10kg/{m^3}$. Người ta ngọt hóa nước trong hồ bằng cách bơm nước ngọt vào hồ với tốc độ $2{m^3}/$phút.

a) Viết biểu thức $C\left( t \right)$ biểu thị nồng độ muối trong hồ sau $t$ phút kể từ khi bắt đầu bơm.

b) Tìm giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } C\left( t \right)$ và giải thích ý nghĩa.

Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}}$ có đồ thị như Hình 4.

a) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

Từ đồ thị và bảng trên, có nhận xét gì về giá trị $f\left( x \right)$ khi $x$ dần tới 1 phía bên phải?

b) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

Từ đồ thị và bảng trên, có nhận xét gì về giá trị $f\left( x \right)$ khi $x$ dần tới 1 phía bên trái?

Tìm các giới hạn sau:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{2x}}{{x - 3}}$;

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {3x - 1} \right)$.

Xét tình huống ở đầu bài học. Gọi $x$ là hoành độ điểm $H$. Tính diện tích $S\left( x \right)$ của hình chữ nhật $OHMK$ theo $x$. Diện tích này thay đổi như thế nào khi $x \to {0^ + }$ và khi $x \to + \infty$.

Tìm các giới hạn sau:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {{x^2} - 7x + 4} \right)$

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x - 3}}{{{x^2} - 9}}$

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{3 - \sqrt {x + 8} }}{{x - 1}}$

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - {x^2}}&{khi\,\,x < 1}\\x&{khi\,\,x \ge 1}\end{array}} \right.$.

Tìm các giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right);\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {\rm{ }}f\left( x \right);\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)$ (nếu có).

Tìm các giới hạn sau:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{4x + 3}}{{2x}}$;

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{2}{{3x + 1}}$;

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x + 1}}$.

Tìm các giới hạn sau:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{1}{{x + 1}}$;

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {1 - {x^2}} \right)$;

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{x}{{3 - x}}$.

Trong hồ có chứa 6000 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối là 30 gam/lít vào hồ với tốc độ 15 lít/phút.

a) Chứng tỏ rằng nồng độ muối của nước trong hồ sau $t$ phút kể từ khi bắt đầu bơm là $C\left( t \right) = \frac{{30t}}{{400 + t}}$(gam/lít).

b) Nồng độ muối trong hồ như thế nào nếu $t \to + \infty$.

Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là $f > 0$ không đổi. Gọi $d$ và $d'$ lần lượt là khoảng cách từ vật thật và ảnh của nó tới quang tâm $O$ của thấu kính (Hình 5). Ta có công thức: $\frac{1}{d} + \frac{1}{{d'}} = \frac{1}{f}$ hay $d' = \frac{{df}}{{d - f}}$.

Xét hàm số $g\left( d \right) = \frac{{df}}{{d - f}}$. Tìm các giới hạn sau đây và giải thích ý nghĩa.

a) $\mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ + }} g\left( d \right)$;

b) $\mathop {\lim }\limits_{d \to + \infty } g\left( d \right)$.

Sử dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to -1}{\lim }\left(x^3-3x\right);$

b) $\underset{x\to 2}{\lim }\sqrt{2x+5};$

c) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4-x}{2x+1}.$

Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to -3}{\lim }\left(8+3x-x^2\right);$

b) $\underset{x\to 2}{\lim }\left[\left(5x-1\right)\left(2-4x\right)\right];$

c) $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x^2-x}{{\left(2x+1\right)}^2};$

d) $\underset{x\to -1}{\lim }\sqrt{10-2x^2}.$

Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x^2-4}{x+2};$

b) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^3-1}{1-x};$

c) $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2-4x+3}{x-3};$

d) $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{2-\sqrt{x+6}}{x+2};$

e) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{\sqrt{x+1}-1};$

g) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4x+4}{x^2-4}.$

Cho hai hàm số f(x) và g(x) có $\underset{x\to 4}{\lim }f\left(x\right)=2$ và $\underset{x\to 4}{\lim }g\left(x\right)=-3.$ Tìm các giới hạn:

a) $\underset{x\to 4}{\lim }\left[g\left(x\right)-3f\left(x\right)\right];$

b) $\underset{x\to 4}{\lim }\frac{2f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)}{{\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]}^2}.$

Cho hai hàm số f(x) và g(x) có $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=3$ và $\underset{\mathrm{x}\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\left[\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+2\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right]=7.$ Tìm $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2f\left(x\right)+g\left(x\right)}{2f\left(x\right)-g\left(x\right)}?$

Cho hàm số f(x) = $\left\{\begin{array}{l}3x+4,x\le -1\\ 3-2x^2,x>-1\end{array}\right.$. Tìm các giới hạn $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right),\underset{x\to -1^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ và $\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)?$

Cho hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}+1,\mathrm{x}\le 1\\ \sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{a}},\mathrm{x}>1\end{array}\right.$. Tìm giá trị của tham số a sao cho tồn tại giới hạn $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)?$

Mỗi giới hạn sau có tồn tại không? Nếu có, hãy tìm giới hạn đó.

a) $\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{{\mathrm{x}}^2}{\left|\mathrm{x}\right|};$

b) $\underset{\mathrm{x}\to 2}{\lim }\frac{{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}}{\left|\mathrm{x}-2\right|}.$

Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{x+4};$

b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x^2+1}{{\left(2x+1\right)}^2};$

c) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3x+1}{\sqrt{x^2-2x}};$

d) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x-\sqrt{x^2+2x}\right).$

Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^3+2x^2-1\right);$

b) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^3+2x^2}{3x^2+1};$

c) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt{x^2-2x+3}.$

Tìm giá trị của các tham số a và b, biết rằng:

a) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\mathrm{ax}+b}{x-2}=5;$

b) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{a\sqrt{x}+b}{x-1}=3.$

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(t, t²), t > 0, nằm trên đường parabol y = x². Đường trung trực của đoạn thẳng OM cắt trục tung tại N. Điểm N dần đến điểm nào khi điểm M dần đến điểm O?