Giải bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 2: Giới hạn của hàm số

Quan sát hình bên, cho biết hình chữ nhật OHMK thay đổi nhưng điểm M luôn nằm trên đồ thị hàm số $y=\frac{1}{x^2}$ (x > 0). Diện tích hình chữ nhật sẽ thay đổi như thế nào khi điểm H tiến gần đến gốc tọa độ? Khi H tiến xa sang phía bên phải thì sao?

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} - 2}}{{x - 1}}\).

a) Bảng sau đây cho biết giá trị của hàm số tại một số điểm gần điểm 1.

Có nhận xét gì về giá trị của hàm số khi \(x\) càng gần đến 1?

b) Ở Hình 1, \(M\) là điểm trên đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\); \(H\) và \(P\) lần lượt là hình chiếu của điểm \(M\) trên trục hoành và trục tung. Khi điểm \(H\) thay đổi gần về điểm \(\left( {1;0} \right)\) trên trục hoành thì điểm \(P\) thay đổi như thế nào?

Tính các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {2{x^2} - x} \right)\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x + 1}}\).

Cho hai hàm số và \(y = g\left( x \right) = \frac{x}{{x + 1}}\).

a) Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì thoả mãn \({x_n} \ne - 1\) với mọi \(n\) và \({x_n} \to 1\) khi \(n \to + \infty \). Tìm giới hạn \(\lim \left[ {f\left( {{x_n}} \right) + g\left( {{x_n}} \right)} \right]\).

b) Từ đó, tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]\), và so sánh với \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\rm{ }}f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)\).

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {{x^2} + 5x - 2} \right)\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}\).

Giá cước vận chuyển bưu kiện giữa hai thành phố do một đơn vị cung cấp được cho bởi bảng sau:

Nếu chỉ xét trên khoảng từ 0 đến 5 (tính theo 100 gam) thì hàm số giả cước (tính theo nghìn đồng) xác định như sau:

\(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}6&{khi\,\,x \in \left( {0;1} \right]}\\7&{khi\,\,x \in \left( {1;2,5} \right]}\\{10}&{khi\,\,x \in \left( {2,5;5} \right]}\end{array}} \right.\)

Đồ thị của hàm số như Hình 2.

a) Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì sao cho \(x \in \left( {1;2,5} \right)\) và \(\lim {x_n} = 1\). Tìm \(\lim f\left( {{x_n}} \right)\).

b) Giả sử \(\left( {{x_n}'} \right)\) là dãy số bất kì sao cho \({x_n}' \in \left( {0;1} \right)\) và \(\lim {x_n}' = 1\). Tìm \(\lim f\left( {{x_n}'} \right)\).

c) Nhận xét về kết quả ở a) và b)

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - 2x}&{khi\,\,x \le - 1}\\{{x^2} + 2}&{khi\,\,x > - 1}\end{array}} \right.\).

Tìm các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} {\rm{ }}f\left( x \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f\left( x \right)\) (nếu có).

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{x}\) có đồ thị như Hình 3.

a) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

Từ đồ thị và bảng trên, nêu nhận xét về giá trị \(f\left( x \right)\) khi \(x\) càng lớn (dần tới \( + \infty \))?

b) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

Từ đồ thị và bảng trên, nêu nhận xét về giá trị \(f\left( x \right)\) khi \(x\) càng bé (dần tới \( - \infty \))?

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 - 3{x^2}}}{{{x^2} + 2x}}\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{2}{{x + 1}}\).

Một cái hồ đang chứa \(200{m^3}\) nước mặn với nồng độ muối \(10kg/{m^3}\). Người ta ngọt hóa nước trong hồ bằng cách bơm nước ngọt vào hồ với tốc độ \(2{m^3}/\)phút.

a) Viết biểu thức \(C\left( t \right)\) biểu thị nồng độ muối trong hồ sau \(t\) phút kể từ khi bắt đầu bơm.

b) Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } C\left( t \right)\) và giải thích ý nghĩa.

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}}\) có đồ thị như Hình 4.

a) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

Từ đồ thị và bảng trên, có nhận xét gì về giá trị \(f\left( x \right)\) khi \(x\) dần tới 1 phía bên phải?

b) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

Từ đồ thị và bảng trên, có nhận xét gì về giá trị \(f\left( x \right)\) khi \(x\) dần tới 1 phía bên trái?

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{2x}}{{x - 3}}\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {3x - 1} \right)\).

Xét tình huống ở đầu bài học. Gọi \(x\) là hoành độ điểm \(H\). Tính diện tích \(S\left( x \right)\) của hình chữ nhật \(OHMK\) theo \(x\). Diện tích này thay đổi như thế nào khi \(x \to {0^ + }\) và khi \(x \to + \infty \).

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {{x^2} - 7x + 4} \right)\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x - 3}}{{{x^2} - 9}}\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{3 - \sqrt {x + 8} }}{{x - 1}}\)

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - {x^2}}&{khi\,\,x < 1}\\x&{khi\,\,x \ge 1}\end{array}} \right.\).

Tìm các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right);\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {\rm{ }}f\left( x \right);\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\) (nếu có).

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{4x + 3}}{{2x}}\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{2}{{3x + 1}}\);

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x + 1}}\).

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{1}{{x + 1}}\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {1 - {x^2}} \right)\);

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{x}{{3 - x}}\).

Trong hồ có chứa 6000 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối là 30 gam/lít vào hồ với tốc độ 15 lít/phút.

a) Chứng tỏ rằng nồng độ muối của nước trong hồ sau \(t\) phút kể từ khi bắt đầu bơm là \(C\left( t \right) = \frac{{30t}}{{400 + t}}\)(gam/lít).

b) Nồng độ muối trong hồ như thế nào nếu \(t \to + \infty \).

Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là \(f > 0\) không đổi. Gọi \(d\) và \(d'\) lần lượt là khoảng cách từ vật thật và ảnh của nó tới quang tâm \(O\) của thấu kính (Hình 5). Ta có công thức: \(\frac{1}{d} + \frac{1}{{d'}} = \frac{1}{f}\) hay \(d' = \frac{{df}}{{d - f}}\).

Xét hàm số \(g\left( d \right) = \frac{{df}}{{d - f}}\). Tìm các giới hạn sau đây và giải thích ý nghĩa.

a) \(\mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ + }} g\left( d \right)\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{d \to + \infty } g\left( d \right)\).

Sử dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to -1}{\lim }\left(x^3-3x\right);$

b) $\underset{x\to 2}{\lim }\sqrt{2x+5};$

c) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4-x}{2x+1}.$

Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to -3}{\lim }\left(8+3x-x^2\right);$

b) $\underset{x\to 2}{\lim }\left[\left(5x-1\right)\left(2-4x\right)\right];$

c) $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x^2-x}{{\left(2x+1\right)}^2};$

d) $\underset{x\to -1}{\lim }\sqrt{10-2x^2}.$

Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x^2-4}{x+2};$

b) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^3-1}{1-x};$

c) $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2-4x+3}{x-3};$

d) $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{2-\sqrt{x+6}}{x+2};$

e) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{\sqrt{x+1}-1};$

g) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4x+4}{x^2-4}.$

Cho hai hàm số f(x) và g(x) có $\underset{x\to 4}{\lim }f\left(x\right)=2$ và $\underset{x\to 4}{\lim }g\left(x\right)=-3.$ Tìm các giới hạn:

a) $\underset{x\to 4}{\lim }\left[g\left(x\right)-3f\left(x\right)\right];$

b) $\underset{x\to 4}{\lim }\frac{2f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)}{{\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]}^2}.$

Cho hai hàm số f(x) và g(x) có $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=3$ và $\underset{\mathrm{x}\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\left[\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+2\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right]=7.$ Tìm $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2f\left(x\right)+g\left(x\right)}{2f\left(x\right)-g\left(x\right)}?$

Cho hàm số f(x) = $\left\{\begin{array}{l}3x+4,x\le -1\\ 3-2x^2,x>-1\end{array}\right.$. Tìm các giới hạn $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right),\underset{x\to -1^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ và $\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)?$

Cho hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}+1,\mathrm{x}\le 1\\ \sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{a}},\mathrm{x}>1\end{array}\right.$. Tìm giá trị của tham số a sao cho tồn tại giới hạn $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)?$

Mỗi giới hạn sau có tồn tại không? Nếu có, hãy tìm giới hạn đó.

a) $\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{{\mathrm{x}}^2}{\left|\mathrm{x}\right|};$

b) $\underset{\mathrm{x}\to 2}{\lim }\frac{{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}}{\left|\mathrm{x}-2\right|}.$

Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{x+4};$

b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x^2+1}{{\left(2x+1\right)}^2};$

c) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3x+1}{\sqrt{x^2-2x}};$

d) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x-\sqrt{x^2+2x}\right).$

Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^3+2x^2-1\right);$

b) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^3+2x^2}{3x^2+1};$

c) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt{x^2-2x+3}.$

Tìm giá trị của các tham số a và b, biết rằng:

a) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\mathrm{ax}+b}{x-2}=5;$

b) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{a\sqrt{x}+b}{x-1}=3.$

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(t, t²), t > 0, nằm trên đường parabol y = x². Đường trung trực của đoạn thẳng OM cắt trục tung tại N. Điểm N dần đến điểm nào khi điểm M dần đến điểm O?