Hoạt động khám phá 2 trang 72 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Phương pháp giải:

a) Áp dụng các công thức tính giới hạn hữu hạn của dãy số.

b) Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right],$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\rm{ }}f\left( x \right),$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)$ bằng cách đưa về tính giới hạn của dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ thỏa mãn ${x_n} \to {x_0}$ khi $n \to + \infty$ sau đó so sánh.

Lời giải chi tiết:

a) $\lim \left[ {f\left( {{x_n}} \right) + g\left( {{x_n}} \right)} \right]$$= \lim \left( {2{x_n} + \frac{{{x_n}}}{{{x_n} + 1}}} \right)$$= 2\lim {x_n} + \lim \frac{{{x_n}}}{{{x_n} + 1}}$$= 2.1 + \frac{1}{{1 + 1}}$$= \frac{5}{2}$

b) Vì $\lim \left[ {f\left( {{x_n}} \right) + g\left( {{x_n}} \right)} \right]$$= \frac{5}{2}$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]$$= \frac{5}{2}$ (1).

Ta có: $\lim {\rm{ }}f\left( {{x_n}} \right)$$= \lim 2{x_n} = 2\lim {x_n} = 2.1 = 2$$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\rm{ }}f\left( x \right) = 2$

$\lim g\left( {{x_n}} \right)$$= \lim \frac{{{x_n}}}{{{x_n} + 1}}$$= \lim \frac{{{x_n}}}{{{x_n} + 1}} = \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{1}{2}$$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\rm{ }}g\left( x \right)$$= \frac{1}{2}$

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\rm{ }}f\left( x \right)$$+ \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)$$= 2 + \frac{1}{2}$$= \frac{5}{2}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\rm{ }}f\left( x \right)$$+ \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)$

-- Mod Toán 11 HỌC247