Hoạt động khám phá 2 trang 72 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Phương pháp giải:

a) Áp dụng các công thức tính giới hạn hữu hạn của dãy số.

b) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right],\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\rm{ }}f\left( x \right),\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)\) bằng cách đưa về tính giới hạn của dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) thỏa mãn \({x_n} \to {x_0}\) khi \(n \to + \infty \) sau đó so sánh.

Lời giải chi tiết:

a) \(\lim \left[ {f\left( {{x_n}} \right) + g\left( {{x_n}} \right)} \right]\)\( = \lim \left( {2{x_n} + \frac{{{x_n}}}{{{x_n} + 1}}} \right) \)\(= 2\lim {x_n} + \lim \frac{{{x_n}}}{{{x_n} + 1}} \)\(= 2.1 + \frac{1}{{1 + 1}}\)\( = \frac{5}{2}\)

b) Vì \(\lim \left[ {f\left( {{x_n}} \right) + g\left( {{x_n}} \right)} \right]\)\(= \frac{5}{2}\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] \)\(= \frac{5}{2}\) (1).

Ta có: \(\lim {\rm{ }}f\left( {{x_n}} \right) \)\(= \lim 2{x_n} = 2\lim {x_n} = 2.1 = 2 \)\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\rm{ }}f\left( x \right) = 2\)

\(\lim g\left( {{x_n}} \right) \)\(= \lim \frac{{{x_n}}}{{{x_n} + 1}} \)\(= \lim \frac{{{x_n}}}{{{x_n} + 1}} = \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{1}{2} \)\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\rm{ }}g\left( x \right)\)\( = \frac{1}{2}\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\rm{ }}f\left( x \right) \)\(+ \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) \)\(= 2 + \frac{1}{2} \)\(= \frac{5}{2}\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] \)\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\rm{ }}f\left( x \right) \)\(+ \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)\)

-- Mod Toán 11 HỌC247