Bài tập 11 trang 85 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST

a) Do $\underset{x\to 2}{\lim }\left(x-2\right)=2-2=0$ nên để tồn tại giới hạn hữu hạn $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\mathrm{ax}+b}{x-2}=5.$

Trước hết ta phải có $\underset{x\to 2}{\lim }\left(\mathrm{ax}+b\right)=0$ hay 2a + b = 0, suy ra b = ‒ 2a.

Khi đó, $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\mathrm{ax}+b}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\mathrm{ax}-2a}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{a\left(x-2\right)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }a=a$

Suy ra a = 5 và b = ‒ 10.

b) Do $\underset{x\to 1}{\lim }\left(x-1\right)=1-1=0$ nên để tồn tại giới hạn hữu hạn $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{a\sqrt{x}+b}{x-1}=3.$

Trước hết ta phải có $\underset{x\to 1}{\lim }\left(a\sqrt{x}+b\right)=0$ hay a + b = 0, suy ra b = ‒ a.

Khi đó, $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{a\sqrt{x}+b}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{a\sqrt{x}-a}{x-1}$ $=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{a\left(\sqrt{x}-1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{a\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}$

$=\underset{x\to 1}{\text{lim}}\frac{a\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\underset{x\to 1}{\text{lim}}\frac{a}{\sqrt{x}+1}=\frac{a}{2}.$

Suy ra $\frac{a}{2}=3$ hay a = 6, suy ra b = ‒ 6.

-- Mod Toán 11 HỌC247