Toán 11 Cánh Diều Chương 8 Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

Định nghĩa

Một đường thẳng nằm trong một mặt phẳng chia mặt phẳng đó thành hai phần, mỗi phần được gọi là một nửa mặt phẳng và đường thẳng đó được gọi là bờ của mỗi nửa mặt phẳng này.

Khái niệm

Chú ý: Góc nhị diện còn được kí hiệu là [M, d, N] với M, N lần lượt là các điểm thuộc các nửa mặt phẳng (P), (Q) nhưng không thuộc đường thẳng d.

Định nghĩa

Chú ý: Số đo của góc nhị diện từ 0^o đến 180^o.

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, \(SA = a\sqrt 6\). Tính sin của góc:

a) SC và (SAB).

b) AC và (SBC).

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(BC \bot AB{\rm{ (gt)}}\).

\(SA \bot BC\) (Vì \(SA \bot (ABCD)\))

Suy ra: \(BC \bot (SAB).\)

Do đó: SB là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (SAB).

\(\Rightarrow (SC,(SAB)) = \widehat {BSC}.\)

Ta có: \(\sin (SC,(SAB)) = \sin \widehat {BSC} = \frac{{BC}}{{SC}} = \frac{a}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).

b) Trong  mặt phẳng (SAB) kẻ: \(AH \bot SB{\rm{ (H}} \in {\rm{SB)}}.\)

Theo câu a ta có: \(BC \bot (SAB) \Rightarrow AH \bot BC\) nên \(AH \bot (SBC)\) hay CH là hình chiếu vuông góc của AC trên mặt phẳng (SBC).

\(\Rightarrow (AC,(SBC)) = \widehat {ACH}.\)

Xét tam giác vuông SAB có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{7}{{6{a^2}}} \Rightarrow AH = a.\sqrt {\frac{6}{7}} .\)

Vậy: \(\sin (AC,(SBC)) = \sin \widehat {ACH} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{\sqrt {21} }}{7}.\) 

Học xong bài học này, em sẽ:

- Nhận biết được khái niệm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng; góc nhị diện.

- Vận dụng kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để mô tả một số hình ảnh thực tế.

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Cánh Diều Chương 8 Bài 3 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

• Câu 1:

  Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, SO vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(\alpha \) là góc giữa đt SD và mp đáy. Khi đó?

  • A. \(\alpha =\widehat{SDA}\).        
  • B. \(\alpha =\widehat{SDO}\).  
  • C. \(\alpha =\widehat{SAD}\).    
  • D. \(\alpha =\widehat{ASD}\).

• Câu 2:

  Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\), \(SA=SB=SC=SD=2a.\) Gọi \(\varphi \) là góc giữa mp \(\left( SCD \right)\) và \(\left( ABCD \right)\). Mệnh đề nào đúng?

  • A. \(tan\varphi =\frac{\sqrt{2}}{2}.\)     
  • B. \(tan\varphi =\sqrt{3}.\)       
  • C. \(tan\varphi =2.\)        
  • D. \(tan\varphi =\sqrt{2}.\)

• Câu 3:

  Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\),\(SA=a\sqrt{2}\) và \(SA\) vuông góc với mp đáy. Tính góc giữa \(SC\) và mặt đáy? 

  • A. \(30{}^\circ \).       
  • B. \(45{}^\circ \).     
  • C. \(60{}^\circ \).         
  • D. \(90{}^\circ \).

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức về bài học này nhé!

Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Cánh Diều Chương 8 Bài 3 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Hoạt động 1 trang 89 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 1 trang 90 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Hoạt động 2 trang 91 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 2 trang 91 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Hoạt động 3 trang 92 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 3 trang 92 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 1 trang 94 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 2 trang 94 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 3 trang 94 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 4 trang 94 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 5 trang 94 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 6 trang 94 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 24 trang 99 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 25 trang 99 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 26 trang 99 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 27 trang 99 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 28 trang 100 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 29 trang 100 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 30 trang 100 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 31 trang 100 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 32 trang 100 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán học HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!