Bài tập 29 trang 100 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Gọi H là hình chiếu của A trên CD suy ra AH ⊥ CD.

Ta có: SA ⊥ (ABCD), CD ⊂ (ABCD) và AH ⊂ (ABCD).

Suy ra: SA ⊥ CD và SA ⊥ AH.

Ta có: CD ⊥ AH, CD ⊥ SA và AH ∩ SA = A trong (SAH) nên CD ⊥ (SAH).

Mà SH ⊂ (SAH), suy ra CD ⊥ SH.

Ta thấy: SH ⊥ CD, AH ⊥ CD và SH ∩ AH = H ∈ CD.

Suy ra $\widehat{SHA}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [S, CD, A].

Vì AD = CD = AC = a nên tam giác ACD đều.

Hơn nữa, AH là đường cao của tam giác ACD (do AH ⊥ CD) nên AH cũng là đường đường trung tuyến của tam giác ACD.

Suy ra $HD=\frac{AD}{2}=\frac{a}{2}.$

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác AHD vuông tại H có:

AD² = AH² + HD²

Suy ra $AH=\sqrt{A{D}^2-H{D}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Xét tam giác SAH vuông tại A có:

$\tan \widehat{SHA}=\frac{SA}{AH}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \widehat{SHA}=30°.$

Vậy số đo của góc nhị diện [S, CD, A] là $\widehat{SHA}=30°.$

-- Mod Toán 11 HỌC247