Toán 11 Cánh Diều Chương 8 Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối

Định nghĩa

Chú ý:

Khi đáy của hình lăng trụ đứng lần lượt là tứ giác, ngũ giác, lục giác, ta gọi hình lăng trụ đứng đó lần lượt là hình lăng trụ đứng tứ giác (Hình a), hình lăng trụ đứng ngũ giác (Hình b), hình lăng trụ đứng lục giác (Hình c).

Nhận xét:

- Mỗi mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật, mặt phẳng chứa nó vuông góc với mặt đáy.

- Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.

 + Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là hình chữ nhật.

 + Nếu mỗi mặt của hình hộp là hình chữ nhật thì hình hộp đó là hình hộp chữ nhật.

 + Độ dài các đường chéo của hình hộp chữ nhật là bằng nhau.

- Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các mặt là hình vuông.

Định nghĩa

Chú ý:

- Khi đáy của hình chóp đều lần lượt là tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều, lục giác đều, ta gọi hình chóp đều đó lần lượt là hình chóp tam giác đều, hình chóp tứ giác đều, hình chóp ngũ giác đều, hình chóp lục giác đều.

- Hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy là tứ diện đều.

Tính chất

Định nghĩa

Trong hình chóp cụt đều \({A_1}{A_2}...{A_n}.{B_1}{B_2}...{B_n}\), ta gọi:

- Các đa giác \({A_1}{A_2}...{A_n},{B_1}{B_2}...{B_n}\), lần lượt là đáy lớn, đáy nhỏ;

- Các tứ giác \({A_1}{A_2}{B_2}{B_1},{A_2}{A_3}{B_3}{B_2},...,{A_n}{A_1}{B_1}{B_n}\) là các mặt bên.

- Các đoạn thẳng \({A_1}{B_1},{A_2}{B_2},...,{A_n}{B_n}\) là các cạnh bên.

- Các cạnh của hai đa giác \({A_1}{A_2}...{A_n},{B_1}{B_2}...{B_n}\) là các cạnh đáy.

- Đoạn thẳng nối tâm của hai đáy là đường cao; độ dài đường cao là chiều cao.

Tuỳ theo đáy là tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều,..., ta có hình chóp cụt tam giác đều, hình chóp cụt tứ giác đều, hình chóp cụt ngũ giác đều,...

Nhận xét:

- Hai đáy của hình chóp cụt đều nằm trên hai mặt phẳng song song và có các cạnh tương ứng song song; đồng thời hai đáy đó là các đa giác đều có cùng số cạnh.

- Mỗi mặt bên của hình chóp cụt đều là một hình thang cân.

- Các đường thẳng chứa cạnh bên của hình chóp cụt đều cùng đi qua một điểm.

- Đường cao của hình chóp cụt đều thì vuông góc với hai đáy của hình chóp cụt đều đó (chẳng hạn, đoạn thẳng OO' trong Hình bên dưới).

- Phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ (kể cả hình lăng trụ ấy) được gọi là khối lăng trụ. Ta định nghĩa tương tự các khối sau: khối hộp, khối chóp, khối chóp cụt đều.

- Đỉnh, cạnh, mặt của các khối lăng trụ, khối hộp, khối chóp, khối chóp cụt đều là đỉnh, cạnh mặt của các hình lăng trụ, hình hộp, hình chóp, hình chóp đều tương ứng.

Định lí

- Cụ thể, ta có: \(V = S . h\), trong đó V là thể tích của khối lăng trụ, S là diện tích của đáy và h là chiều cao của khối lăng trụ.

Nhận xét:

- Do chiều cao của khối lăng trụ đứng bằng độ dài cạnh bên nên thể tích của khối lăng trụ đứng bằng diện tích đáy nhân với độ dài cạnh bên.

- Vì khối hộp là khối lăng trụ có đáy là hình bình hành nên thể tích của khối hộp bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.

- Thể tích của khối hộp chữ nhật với ba kích thước: chiều dài a, chiều rộng b, chiều cao c, là: \(V = abc\).

- Thể tích của khối lập phương cạnh a là: \(V = {{a}^{3}}\).

Định lí

- Cụ thể, ta có: \(V= \frac {{1}{3}} S . h\), trong đó V là thể tích của khối chóp, S là diện tích của đáy và h là chiều cao của khối chóp.

Định lí

Bài 1. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, \(AC=a\sqrt3\), cạnh A'B = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'?

Hướng dẫn giải:

Tam giác ABC vuông tại B nên \(BC=\sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = a\sqrt 2.\)

Suy ra: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.\)

Tam giác A'AB vuông tại A nên: \(A'A = \sqrt {A'{B^2} - A{B^2}} = a\sqrt 3 .\) 

Vậy thể tích khối lăng trụ là: \({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.A'A = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}.\)

Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, \(AB=a \sqrt 2, AC=a \sqrt 3\), cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SB=a \sqrt 3.\) Tính thể tích khối chóp S.ABC?

Hướng dẫn giải:

Tam giác ABC vuông tại B nên \(BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = a.\)

Suy ra: \({{\rm{S}}_{\Delta {\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{1}{2}.a\sqrt 2 .a = \frac{{{a^2}.\sqrt 2 }}{2}\)

Tam giác SAB vuông tại A có \(SA = \sqrt {S{B^2} - A{B^2}} = a.\)

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là: \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}.\sqrt 2 }}{2}.a = \frac{{{a^3}.\sqrt 2 }}{6}.\)  

- Nhận biết công thức tính và tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ, khối hộp, khối chóp cụt đều.

- Vận dụng kiến thức, kĩ năng về thể tích vào một số bài toán thực tế.

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Cánh Diều Chương 8 Bài 6 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

• Câu 1:

  Cho khối lăng trụ có chiều cao h = 5 và diện tích đáy S = 6. Thể tích của khối lăng trụ đã cho là bao nhiêu?

  • A. 15
  • B. 30
  • C. 11
  • D. 10

• Câu 2:

  Cho hình chóp \(S.ABC\) có tam giác \(SBC\) là tam giác vuông cân tại \(S\), \(SB=2a\) và k/c từ \(A\) đến mp \(\left( SBC \right)\) bằng \(3a.\) Tính theo \(a\) thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABC\)?

  • A. \(V=2{{a}^{3}}\).  
  • B. \(V=4{{a}^{3}}\). 
  • C. \(V=6{{a}^{3}}\) 
  • D. \(V=12{{a}^{3}}\).

• Câu 3:

  Cho khối chóp có thể tích V, diện tích đáy là S và chiều cao h. Chọn CT đúng?

  • A. \(V = Sh\)
  • B. \(V = \frac{1}{2}Sh\)
  • C. \(V = \frac{1}{3}Sh\)
  • D. \(V = \frac{1}{6}Sh\)

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức về bài học này nhé!

Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Cánh Diều Chương 8 Bài 6 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Hoạt động 1 trang 107 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 1 trang 108 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Hoạt động 2 trang 109 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 2 trang 110 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Hoạt động 3 trang 110 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 3 trang 111 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Hoạt động 4 trang 112 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 4 trang 112 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 5 trang 114 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 6 trang 114 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 1 trang 115 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 2 trang 115 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 3 trang 115 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 4 trang 115 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 5 trang 115 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 6 trang 115 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 7 trang 115 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 51 trang 117 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 52 trang 117 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 53 trang 117 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 54 trang 117 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 55 trang 117 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 56 trang 117 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán học HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!