Bài giảng dưới đây gồm kiến thức trọng tâm và bài tập minh họa Ôn tập cuối chương 3. Bài giảng đã được HỌC247 biên soạn ngắn gọn, đầy đủ, dễ hiểu về hàm số bậc hai, đồ thị hàm số bậc hai, dấu của tam thức bậc hai,... giúp các em dễ dàng nắm được nội dung chính của bài.
Tóm tắt lý thuyết
1.1. Hàm số và đồ thị
a) Hàm số
|
Cho \(\emptyset \ne D \subset \mathbb{R}\) Nếu với mỗi \(x \in D\), ta xác định được y duy nhất (\(y \in \mathbb{R}\)) thì ta có một hàm số. Ta gọi: x là biến số, y là hàm số của x, D là tập xác định \(T = \left\{ {y|x \in D} \right\}\) là tập giá trị của hàm số. +) Kí hiệu hàm số: \(y = f(x),\;x \in D\) |
|---|
- Hàm số cho bằng công thức
TXĐ của hàm số \(y = f(x)\) là tập hợp tất cả các \(x \in \mathbb{R}\) sao cho \(f(x)\) có nghĩa.
b) Đồ thị hàm số
|
+) Hàm số \(y = f(x)\) xác định trên D, Khi đó đồ thị \((C) = \left\{ {M(x;f(x))|x \in D} \right\}\) +) Điểm \(M({x_M};{y_M})\) thuộc đồ thị hàm số \(y = f(x)\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} \in D\\{y_M} = f({x_M})\end{array} \right.\) |
|---|
c) Sự biến thiên của hàm số
|
+) Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b)\) - Hàm số đồng biến trên khoảng \((a;b)\) nếu: \(\forall {x_1},{x_2} \in (a;b),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\) - Hàm số nghịch biến trên khoảng \((a;b)\) nếu: \(\forall {x_1},{x_2} \in (a;b),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2})\) |
|---|
+) Bảng biến thiên
Mũi tên đi xuống: diễn tả hàm số nghịch biến
Mũi tên đi lên: diễn tả hàm số đồng biến
* Mô tả hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến bằng đồ thị
+) Trên khoảng \((a;b)\)
- Hàm số đồng biến (tăng) thì đồ thị có dạng đi lên từ trái sang phải.
- Hàm số nghịch biến (giảm) thì đồ thị có dạng đi xuồng từ trái sang phải.
1.2. Hàm số bậc hai
a) Hàm số bậc hai
|
Hàm số bậc hai là hàm số cho bằng công thức dạng \(y = a{x^2} + bx + c\) với \(a,b,c \in \mathbb{R};a \ne 0.\) Tập xác định: \(\mathbb{R}\). |
|---|
Ví dụ: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc hai? Với những hàm số bậc hai đó, xác định a, b, c lần lượt là hệ số của x2, hệ số của x và hệ số tự do.
a) y = 8x2 - 6x + 1;
b) y = 2x + 2021.
Giải
a) Hàm số y = 8x2 - 6x + 1 là hàm số bậc hai có hệ số của x2 bằng 8, hệ số của x bằng - 6, hệ số tự do bằng 1.
b) Hàm số y = 2x + 2021 không phải là hàm số bậc hai.
b) Đồ thị hàm số bậc hai
|
* Đồ thị hàm số bậc hai \(y = f(x) = a{x^2} + bx + c\) \((a \ne 0)\) là một parabol (P): - Đỉnh \(S\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\) - Trục đối xứng: đường thẳng \(x = - \frac{b}{{2a}}\) - Bề lõm: quay lên trên nếu \(a > 0\), quay xuống dưới nếu \(a < 0\) - Cắt Oy tại điểm \((0;c)\) |
|---|
.JPG)
* Chú ý: Nếu PT \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thì đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ lần lượt là 2 nghiệm này.
+) Vẽ đồ thị
1) Xác định đỉnh \(S\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\)
2) Vẽ trục đối xứng d: \(x = - \frac{b}{{2a}}\)
3) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với trục tung (A(0;c)), trục hoành (nếu có).
Xác định \(B\left( {\frac{{ - b}}{a};c} \right)\) (là điểm đối xứng với A qua d)
4) Vẽ parabol đỉnh S, trục đối xứng d, đi qua các điểm tìm được.
+) Bảng biến thiên
.JPG)
1.3. Dấu của tam thức bậc hai
Cho tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) với \(a \ne 0,\Delta = {b^2} - 4ac.\)
+ \(\Delta < 0\): f(x) cùng dấu với a, \(\forall x \in \mathbb{R}\)
+ \(\Delta = 0\): f(x) cùng dấu với a, \(\forall x \in \mathbb{R}{\rm{\backslash }}\left\{ {\frac{{ - b}}{{2a}}} \right\}\)
+ \(\Delta > 0\): f(x) có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}({x_1} < {x_2})\), khi đó
f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x thuộc các khoảng \(\left( { - \infty ;{x_1}} \right)\) và \(\left( {{x_2}; + \infty } \right)\);
f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x thuộc khoảng \(\left( {{x_1};{x_2}} \right)\).
Nhận xét: Trong định lí, có thể thay biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4{\rm{a}}c\) bằng biệt thức thu gọn \(\Delta ' = {\left( {b'} \right)^2} - {\rm{a}}c\) với b = 2b'
1.4. Bất phương trình bậc hai một ẩn
a) Bất phương trình bậc hai một ẩn
+ Bất phương trình bậc hai ân x là bất phương trình có một trong các dạng sau: \(a{x^2} + bx + c < 0;a{x^2} + bx + c \le 0;a{x^2} + bx + c > 0;a{x^2} + bx + c \ge 0\) (\(a,b,c \in \mathbb{R};a \ne 0\)), trong đó a, b, c là các số thực đã cho, a \( \ne \) 0.
+ Đối với bất phương trình bậc hai có dạng \(a{x^2} + bx + c < 0\), mỗi số. xo \(\in\) R sao cho \(ax_0^2 + b{x_0} + c < 0\) được gọi là một nghiệm của bất phương trình đó.
Tập hợp các nghiệm x0 như thế còn được gọi là tập nghiệm của bất phương trình bậc hai đã cho.
Nghiệm và tập nghiệm của các dạng bất phương trình bậc hai ẩn x còn lại được đinh nghĩa tương tư.
Chú ý: Giải bất phương trình bậc hai ẩn x là đi tìm tập nghiệm của bất phương trình đó.
b) Giải bất phương trình bậc hai một ẩn
* Giải bằng cách xét dấu tam thức bậc hai
Bước 1: Xác định dấu của a và tìm nghiệm của f(x) (nếu có)
Bước 2: Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để tìm tập hợp những giá trị x sao cho f(x) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
+ \(\Delta < 0\): f(x) cùng dấu với a, \(\forall x \in \mathbb{R}\)
+ \(\Delta = 0\): f(x) cùng dấu với a, \(\forall x \in \mathbb{R}{\rm{\backslash }}\left\{ {\frac{{ - b}}{{2a}}} \right\}\)
+ \(\Delta < 0\): f(x) có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}({x_1} < {x_2})\)
* Giải bằng cách sử dụng đồ thị
+) Nghiệm của BPT \(a{x^2} + bx + c > 0\) là tập hợp x ứng với phần Parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) nằm phía trên trục hoành.
+) Nghiệm của BPT \(a{x^2} + bx + c < 0\) là tập hợp x ứng với phần Parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) nằm phía dưới trục hoành.
1.5. Hai dạng phương trình
a) Phương trình dạng \(\sqrt{ax^{2}+bx+c}=\sqrt{dx^{2}+ex+f}\)
Để giải phương trình \(\sqrt{ax^{2}+bx+c}=\sqrt{dx^{2}+ex+f}\) ta làm như sau:
Bước 1: Bình phương hai về của phương trình để được phương trình \(a{x^2} + bx + c = d{x^2} + ex + f\)
Bước 2: Giải phương trình nhận được ở Bước 1
Bước 3: Thử lại xem các giả trị x tim được ở Bước 2 có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm
b) Phương trình dạng \(\sqrt{ax^{2}+bx+c}= dx+e\)
Để giải phương trình \(\sqrt{ax^{2}+bx+c}= dx+e\), ta làm như sau:
Bước 1: Bình phương hai về của phương trình đề được phương trình \(a{x^2} + bx + c = {\left( {dx + e} \right)^2}\)
Bước 2: Giải phương trình nhận được ở Bước 1
Bước 3: Thử lại xem các giả trị x tìm được ở Bước 2 có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.
Bài tập minh họa
Câu 1: Cho hàm số \(y = \frac{1}{x}\) và ba điểm \(M\left( { - 1; - 1} \right),N\left( {0;2} \right),P\left( {2;1} \right)\). Điểm nào thuộc đồ thị hàm số trên? Điểm nào không thuộc đồ thị hàm số trên?
Hướng dẫn giải
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
Ta thấy \({x_N} = 0\)=> Điểm N không thuộc đồ thị.
Thay \({x_M} = - 1\) vào ta được: \(y = \frac{1}{{ - 1}} = - 1\)=> Điểm M thuộc đồ thị.
Thay \({x_P} = 2\) vào ta được: \(y = \frac{1}{2} \ne {y_P}\)=> Điểm P không thuộc đồ thị.
Câu 2: Chứng tỏ hàm số \(y = 6{x^2}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
Hướng dẫn giải
Xét hai số bất kì \({x_1},{x_2} \in \left( { - \infty ;0} \right)\) sao cho \({x_1} < {x_2}\).
Ta có: \(f\left( {{x_1}} \right) = 6x_1^2;f\left( {{x_2}} \right) = 6x_2^2\)
\(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = 6x_1^2 - 6x_2^2\)\( = 6\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\)
\({x_1} < {x_2} \Rightarrow {x_1} - {x_2} < 0\)
\({x_1} < 0;{x_2} < 0 \Rightarrow {x_1} + {x_2} < 0\)
\( \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) > 0\)
Vậy hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
Câu 3: Vẽ đồ thị mỗi hàm số bậc hai sau:
a) \(y = {x^2} - 4x - 3\)
b) \(y = {x^2} + 2x + 1\)
Hướng dẫn giải
a) Đồ thị hàm số có đỉnh \(I\left( {2; - 7} \right)\)
Trục đối xứng là x=2
Giao điểm của parabol với trục tung là (0;-3)
Điểm đối xứng với điểm (0;-3) qua trục đối xứng x=2 là (4;-3)
Vẽ parabol đi qua các điểm được xác định ở trên, ta nhận được đồ thị hàm số:
.JPG)
b) Đồ thị hàm số có đỉnh \(I\left( { - 1;0} \right)\)
Trục đối xứng là x=-1
Giao điểm của parabol với trục tung là (0;1)
Giao điểm của parabol với trục hoành là (-1;0)
Điểm đối xứng với điểm (0;1) qua trục đối xứng x=-1 là (-2;1)
Vẽ parabol đi qua các điểm được xác định ở trên, ta nhận được đồ thị hàm số:
.JPG)
Câu 4: Xét dấu của mỗi tam thức bậc hai sau:
a) \(f\left( x \right) = - 2{x^2} + 4x - 5\)
b) \(f\left( x \right) = - {x^2} + 6x - 9\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có \(a = - 2 < 0\), \(b = 4 = > b' = 2\) và \(c = - 5\)
\(\Delta ' = {2^2} - \left( { - 2} \right).\left( { - 5} \right) = - 6 < 0\)
=>\(f\left( x \right)\) cùng dấu âm với hệ số a.
=> \(f\left( x \right) < 0\forall x \in \mathbb{R}\)
b) Ta có: \(a = - 1,b = 6,c = - 9 = > b' = 3\)
\(\Delta ' = {3^2} - \left( { - 1} \right).\left( { - 9} \right) = 0\)
\(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - b'}}{a} = 3\)
=> \(f\left( x \right)\) cùng dấu âm với hệ số a với mọi \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\)
=> \(f\left( x \right) < 0\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\)
Câu 5: Giải mỗi bất phương trình bậc hai sau bằng cách sử dụng đồ thị:
a) \({x^2} + 2x + 2 > 0\)
b) \( - 3{x^2} + 2x - 1 > 0\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có đồ thị:
.JPG)
Từ đồ thị ta thấy \({x^2} + 2x + 2 > 0\) biểu diễn phần parabol \(y = {x^2} + 2x + 2\) nằm phía trên trục hoành, tương ứng với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} + 2x + 2 > 0\) là \(\mathbb{R}\).
b) Ta có đồ thị:
.JPG)
Từ đồ thị ta thấy \( - 3{x^2} + 2x - 1 > 0\) biểu diễn phần parabol \(y = - 3{x^2} + 2x - 1\) nằm phía trên trục hoành, tương ứng với \(x \in \emptyset \)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \( - 3{x^2} + 2x - 1 > 0\) là \(\emptyset \).
Câu 6: Giải phương trình: \(\sqrt {3{x^2} - 4x + 1} = \sqrt {{x^2} + x - 1} \)
Hướng dẫn giải
Bình phương hai vế ta được:
\(\begin{array}{l}3{x^2} - 4x + 1 = {x^2} + x - 1\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}\)
Thay lần lượt 2 giá trị \(x = 2\) và \(x = \frac{1}{2}\) vào \({x^2} + x - 1 \ge 0\) ta thấy chỉ có \(x = 2\) thỏa mãn bất phương trình.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 2\).
Câu 7: Giải phương trình: \(\sqrt {3x - 5} = x - 1\)
Hướng dẫn giải
\(x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\)
Bình phương hai vế của phương trình ta được
\(3x - 5 = {\left( {x - 1} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\left( {TM} \right)\\x = 3\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ {2;3} \right\}\)
Luyện tập Ôn tập Chương 3 Toán 10 CD
Qua bài giảng này giúp các em:
- Ôn tập và hệ thống lại các kiến thức trọng tâm của chương.
- Áp dụng các kiến thức đã học vào giải các bài tập một cách dễ dàng.
3.1. Bài tập trắc nghiệm Ôn tập Chương 3 Toán 10 CD
Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Cánh Diều Bài tập cuối chương 3 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
-
- A. (2; 3);
- B. (0; 1);
- C. (4; 5);
- D. (0; 0).
-
- A. m < 5;
- B. m > 5;
- C. m < 3;
- D. m >3.
-
- A. \(y = - 3{x^2} - 6x\)
- B. \(y = \;3{x^2} + 6x + 1\)
- C. \(y = \;{x^{2\;}} + 2x + 1\)
- D. \(y = \; - {x^2} - 2x + 1\)
.JPG)
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
3.2. Bài tập SGK cuối Chương 3 Toán 10 CD
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Cánh Diều Bài tập cuối chương 3 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Giải bài 1 trang 60 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 2 trang 60 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 3 trang 60 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 4 trang 60 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 5 trang 61 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 6 trang 61 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 7 trang 61 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 8 trang 61 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 9 trang 61 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 45 trang 61 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 46 trang 61 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 47 trang 62 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 48 trang 62 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 49 trang 62 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 50 trang 62 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 51 trang 62 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 52 trang 62 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 53 trang 62 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 54 trang 63 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 55 trang 63 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 56 trang 63 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Hỏi đáp Ôn tập Chương 3 Toán 10 CD
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 10 HỌC247
