Một lựu đạn được ném từ mặt đất với vận tốc \({{v}_{0}}=20\) (m/s) theo phương lệch với phương ngang góc\(\alpha =30{}^\circ \). Lên tới điểm cao nhất nó nổ thành hai mảnh bằng nhau. Mảnh I rơi thẳng đứng với vận tốc đầu \({{v}_{1}}=20\) (m/s).

Chọn hệ khảo sát: Viên đạn. Trong quá trình nổ thì nội lực lớn hơn rất nhiều so với ngoại lực nên hệ khảo sát là hệ kín trong suốt thời gian xảy ra nổ. Suy ra động lượng bảo toàn trong khoảng thời gian nổ.

a) Hướng và độ lớn vận tốc của mảnh II ngay sau khi đạn nổ

Chọn hệ trục toạ độ xOy như hình vẽ. Tại điểm cao nhất A (đỉnh parabol) thì vận tốc \(\overrightarrow{v}\) có phương nằm ngang và có độ lớn là:

\(v={{v}_{0x}}={{v}_{0}}\cos \alpha =20.\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}\) (m/s)

- Vị trí A có độ cao là: \({{h}_{A}}=AH={{y}_{A}}=\frac{v_{0}^{2}{{\sin }^{2}}\alpha }{2g}=5m.\)

- Xét lựu đạn nổ tại A. Gọi m là khối lượng của mỗi mảnh.

- Theo định luật bảo toàn động lượng, ta có: \(\overrightarrow{p}={{\overrightarrow{p}}_{1}}+{{\overrightarrow{p}}_{2}}\)

Với \(\overrightarrow{p}\) nằm ngang, \({{\overrightarrow{p}}_{1}}\) thẳng đứng hướng xuống và có độ lớn là:

\(p=2mv=20\sqrt{3}m;{{p}_{1}}=m{{v}_{1}}=20m\)

- Vì  \({{\overrightarrow{p}}_{1}}\) vuông góc với \(\overrightarrow{p}\) nên từ hình vẽ ta có: \(p_{2}^{2}={{p}^{2}}+p_{1}^{2}=4.{{(20m)}^{2}}\)

\(\Rightarrow {{p}_{2}}=40m\)

- Vận tốc mảnh II ngay sau khi lựu đạn nổ: \({{v}_{2}}=\frac{{{p}_{2}}}{m}=40\)(m/s) (\(\overrightarrow{{{v}_{2}}}\) cùng hướng với \({{\overrightarrow{p}}_{2}}\)).

- Từ hình vẽ ta có: \(\tan \beta =\frac{{{p}_{1}}}{p}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \beta =30{}^\circ \).

Vậy: Sau khi lựu đạn nổ, mảnh II bay theo phương \(\overrightarrow{{{v}_{2}}}\) hợp với phương ngang góc \(\beta =30{}^\circ \), hướng lên và có độ lớn vận tốc \({{v}_{2}}=40\)(m/s).

b) Độ cao cực đại của mảnh II so với mặt đất

- Sau khi đạn nổ, mảnh II chuyển động như vật bị ném xiên góc \(\beta =30{}^\circ \) so với phương ngang từ A, với vận tốc đầu \({{v}_{2}}=40\)(m/s).

- Khảo sát chuyển động của mảnh II trong hệ trục tọa độ \({{x}_{1}}A{{y}_{1}}\) (hình vẽ) thì độ cao cực đại của nó so với A là:

\({{h}_{B}}=BK={{y}_{1B}}=\frac{v_{2}^{2}{{\sin }^{2}}\beta }{2g}=\frac{{{40}^{2}}.{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}}{2.10}=20m\)

Độ cao cực đại của mảnh II so với đất là: \(h={{h}_{A}}+{{h}_{B}}=5+20=25m.\)