YOMEDIA
NONE

Tìm GTNN của A=xy/z+yz/x+zx/y, biết x, y, z là các số dương thỏa mãn x+y+z=1

tìm GTNN của A=\(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}\) . Biết x, y, z là các số dương thỏa mãn x+y+z=1

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Đinh Thế Nghĩa

    Lời giải:

    Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

    \(A=\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}=\frac{x^2y^2}{xyz}+\frac{y^2z^2}{xyz}+\frac{z^2x^2}{xyz}\)

    \(\geq \frac{(xy+yz+xz)^2}{3xyz}\) (1)

    Áp dụng BĐT AM-GM:

    \(x^2y^2+y^2z^2\geq 2xy^2z\)

    \(y^2z^2+z^2x^2\geq 2xyz^2\)

    \(x^2y^2+z^2x^2\geq 2x^2yz\)

    \(\Rightarrow 2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)\geq 2xyz(x+y+z)\)

    \(\Leftrightarrow x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\geq xyz(x+y+z)\)

    \(\Leftrightarrow (xy+yz+xz)^2\geq 3xyz(x+y+z)\) (2)

    Từ (1),(2) suy ra \(A\geq \frac{(xy+yz+xz)^2}{3xyz}\geq \frac{3xyz(x+y+z)}{3xyz}\)

    \(\Leftrightarrow A\geq x+y+z=1\)

    Vậy \(A_{\min}=1\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)

      bởi Đinh Thế Nghĩa 07/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON