YOMEDIA
NONE

Tìm GTLN của ( a^2 − ab + b^2 ) ( b^2 − bc + c^2 ) ( a^2 − ca + c^2 )

Cho 3 số thực dương a,b,c tm:a+b+c=3

Tìm GTLN của \((a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(a^2-ca+c^2)\)

@Akai Haruma,@Lightning Farron giúp mình

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Hoàng Đức Thuận

    Vậy làm theo đề đã sửa nhé.

    Lời giải:

    Không mất tính tổng quát. Giả sử \(a\geq b\geq c\geq 0\)

    Khi đó: \(\left\{\begin{matrix} b^2-bc+c^2=b^2+c(c-b)\leq b^2\\ a^2-ca+c^2=a^2+c(c-a)\leq a^2\end{matrix}\right.\)

    \(\Rightarrow P=(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)\)

    \(\leq (a^2-ab+b^2)a^2b^2\)

    Áp dụng BĐT AM-GM ngược dấu ta có:

    \(P\leq a^2b^2(a^2-ab+b^2)=\frac{4}{9}.\frac{3ab}{2}.\frac{3ab}{2}(a^2-ab+b^2)\)

    \(\leq \frac{4}{9}\left(\frac{a^2-ab+b^2+\frac{3ab}{2}+\frac{3ab}{2}}{3}\right)^3\)

    \(\Leftrightarrow P\leq \frac{4}{9}\left(\frac{(a+b)^2}{3}\right)^3\Leftrightarrow P\leq \frac{4}{243}(a+b)^6\)

    Vì \(c\geq 0\Rightarrow a+b=3-c\leq 3\)

    Do đó \(P\leq \frac{4}{243}.3^6=12\)

    Vậy \(P_{\max}=12\). Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(2,1,0)\) và các hoán vị của nó.

    P/s: Bài này cũng chính là bài mình thi hsg vòng trường 5 năm trước :)

      bởi Hoàng Đức Thuận 21/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF