ON
YOMEDIA
VIDEO

Tìm GTLN của ( a^2 − ab + b^2 ) ( b^2 − bc + c^2 ) ( a^2 − ca + c^2 )

Cho 3 số thực dương a,b,c tm:a+b+c=3

Tìm GTLN của \((a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(a^2-ca+c^2)\)

@Akai Haruma,@Lightning Farron giúp mình

Theo dõi Vi phạm
YOMEDIA

Trả lời (1)

 
 
 
  • Vậy làm theo đề đã sửa nhé.

    Lời giải:

    Không mất tính tổng quát. Giả sử \(a\geq b\geq c\geq 0\)

    Khi đó: \(\left\{\begin{matrix} b^2-bc+c^2=b^2+c(c-b)\leq b^2\\ a^2-ca+c^2=a^2+c(c-a)\leq a^2\end{matrix}\right.\)

    \(\Rightarrow P=(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)\)

    \(\leq (a^2-ab+b^2)a^2b^2\)

    Áp dụng BĐT AM-GM ngược dấu ta có:

    \(P\leq a^2b^2(a^2-ab+b^2)=\frac{4}{9}.\frac{3ab}{2}.\frac{3ab}{2}(a^2-ab+b^2)\)

    \(\leq \frac{4}{9}\left(\frac{a^2-ab+b^2+\frac{3ab}{2}+\frac{3ab}{2}}{3}\right)^3\)

    \(\Leftrightarrow P\leq \frac{4}{9}\left(\frac{(a+b)^2}{3}\right)^3\Leftrightarrow P\leq \frac{4}{243}(a+b)^6\)

    Vì \(c\geq 0\Rightarrow a+b=3-c\leq 3\)

    Do đó \(P\leq \frac{4}{243}.3^6=12\)

    Vậy \(P_{\max}=12\). Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(2,1,0)\) và các hoán vị của nó.

    P/s: Bài này cũng chính là bài mình thi hsg vòng trường 5 năm trước :)

      bởi Hoàng Đức Thuận 21/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
YOMEDIA

Video HD đặt và trả lời câu hỏi - Tích lũy điểm thưởng

Các câu hỏi có liên quan

 

YOMEDIA
1=>1