YOMEDIA
NONE

Tìm giá trị nhỏ nhất của P = xy/z + yz/x + zx/y

Cho x,y,z là ba số dương thỏa mãn điều kiện \(x^2+y^2+z^2=2016\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của P = \(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Trần Thịnh

    Lời giải:

    \(P=\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}=\frac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{xyz}\)

    Xét

    \((x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)^2=x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4+2x^2y^2z^2(x^2+y^2+z^2)\) (1)

    Áp dụng BĐT AM-GM:

    \(x^4y^4+y^4z^4\geq 2x^2y^4z^2\)

    \(y^4z^4+z^4x^4\geq 2x^2y^2z^4\)

    \(x^4y^4+z^4x^4\geq 2x^4y^2z^2\)

    Cộng theo vế: \(\Rightarrow 2(x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4)\geq 2x^2y^2z^2(x^2+y^2+z^2)\)

    \(\Leftrightarrow x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4\geq x^2y^2z^2(x^2+y^2+z^2)\) (2)

    Từ \((1);(2)\Rightarrow (x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)^2\geq 3x^2y^2z^2(x^2+y^2+z^2)\)

    \(\Leftrightarrow (x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)^2\geq 6048x^2y^2z^2\)

    \(\Leftrightarrow x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\geq 12\sqrt{42}xyz\)

    \(\Leftrightarrow P=\frac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{xyz}\geq 12\sqrt{42}\)

    Vậy \(P_{\min}=12\sqrt{42}\Leftrightarrow x=y=z=4\sqrt{42}\)

      bởi Trần Thịnh 22/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF