YOMEDIA
NONE

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = 1/a (2a − 1)^2 + 1/b (2b − 1)^2 + 1/c (2c − 1)^2

Giúp mình thêm bài này nữa

Cho a,b,c > 0 thoả mãn :

\(ab+bc+ca=2abc\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

\(P=\dfrac{1}{a\left(2a-1\right)^2}+\dfrac{1}{b\left(2b-1\right)^2}+\dfrac{1}{c\left(2c-1\right)^2}\)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Điển Mai

    Ta có \(ab+bc+ca=2abc\)

    \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=2\)

    Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{a}\\y=\dfrac{1}{b}\\z=\dfrac{1}{c}\end{matrix}\right.\)

    \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=2\\P=\dfrac{x^3}{\left(2-x\right)^2}+\dfrac{y^3}{\left(2-y\right)^3}+\dfrac{z^3}{\left(2-z\right)^2}\end{matrix}\right.\)

    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

    \(\Rightarrow\dfrac{x^3}{\left(2-x\right)^2}+\dfrac{2-x}{8}+\dfrac{2-x}{8}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{x^3}{64}}=\dfrac{3x}{4}\)

    Tượng tự ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{y^3}{\left(2-y\right)^2}+\dfrac{2-y}{8}+\dfrac{2-y}{8}\ge\dfrac{3y}{4}\\\dfrac{z^3}{\left(2-z\right)^2}+\dfrac{2-z}{8}+\dfrac{2-z}{8}\ge\dfrac{3z}{8}\end{matrix}\right.\)

    \(\Rightarrow P+\dfrac{12-2\left(x+y+z\right)}{8}\ge\dfrac{3}{4}\left(x+y+z\right)\)

    \(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{2}\)

    Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{2}{3}\)

      bởi Điển Mai 31/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON