YOMEDIA
NONE

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=ab/a^5+b^5+ab + bc/b^5+c^5+bc + ca/c^5+a^5+ca

Cho a,b,c là 3 só thực dương thỏa mãn : abc = 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\(p=\dfrac{ab}{a^5+b^5+ab}+\dfrac{bc}{b^5+c^5+bc}+\dfrac{ca}{c^5+a^5+ca}\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Phạm Nguyễn Quỳnh Anh

    Từ \(a^5+b^5=\left(a+b\right)\left(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4\right)\)

    \(=\left(a+b\right)\left[a^2b^2+a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\right]\)

    \(=\left(a+b\right)\left[a^2b^2+\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\right]\)

    \(=\left(a+b\right)\left[a^2b^2+\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\right]\)

    \(\ge\left(a+b\right)^2a^2b^2\forall a,b>0\)

    \(\Rightarrow a^5+b^5+ab\ge ab\left[ab\left(a+b\right)+1\right]\)

    \(\Rightarrow\dfrac{ab}{a^5+b^5+ab}\le\dfrac{ab}{ab\left[ab\left(a+b\right)+1\right]}=\dfrac{1}{ab\left(a+b\right)+1}=\dfrac{c}{a+b+c}\left(abc=1\right)\)

    Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

    \(\dfrac{bc}{b^5+c^5+bc}\le\dfrac{a}{a+b+c};\dfrac{ca}{c^5+a^5+ca}\le\dfrac{b}{a+b+c}\)

    Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

    \(P\le\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{a+b+c}+\dfrac{c}{a+b+c}=\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

    Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)

      bởi Phạm Nguyễn Quỳnh Anh 22/02/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF