YOMEDIA
NONE

Có tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O có AB < AC. Trên cung nhỏ AC lấy điểm M khác A thỏa mãn MA < MC. Vẽ đường kính MN của đường tròn (O) và gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên MB, MN. Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm A, H, K, M cùng nằm trên một đường tròn.

b) AH.AK = HB.MK.

c) Khi điểm M di động trên cung nhỏ AC thì đường thẳng HK luôn qua một điểm cố định.

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Phạm Phú Lộc Nữ

    a) Bốn điểm A, H, K, M cùng nằm trên một đường tròn.

    Xét tứ giác \(AHKM\) ta có: \(\widehat {AHM} = \widehat {AKM} = {90^0}\;\;\left( {gt} \right)\)

    Mà hai góc này là góc kề cạnh \(HK\) và cùng nhìn đoạn \(AM.\)

    \( \Rightarrow AHKM\) là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết).

    Hay bốn điểm \(A,H,\;K,\;M\) cùng nằm trên một đường tròn (đpcm).

    b) AH.AK = HB.MK.

    Ta có :

     

    Mà

    Mà \(\widehat {ABH} + \widehat {BAH} = {90^0}\) (tam giác ABH vuông tại H).

    \( \Rightarrow \widehat {AMK} = \widehat {BAH}\).

    Xét tam giác AMK và tam giác BAH có :

    \(\begin{array}{l}\widehat {AKM} = \widehat {BHA} = {90^0}\\\widehat {AMK} = \widehat {BAH}\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta AMK \sim \Delta BAH\,\,\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{AK}}{{HB}} = \dfrac{{MK}}{{AH}}\\ \Rightarrow AH.AK = HB.MK\end{array}\)

    c) Khi điểm M di động trên cung nhỏ AC thì đường thẳng HK luôn qua một điểm cố định.

    Kéo dài HK cắt AB tại E.

    Ta có \(\widehat {MAK} = \widehat {MHK}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MK).

    Lại có \(\widehat {MHK} = \widehat {EHB}\) (đối đỉnh)

    \( \Rightarrow \widehat {MAK} = \widehat {EHB}\)

    Do \(\Delta AMK \sim \Delta BAH\,\,\left( {cmt} \right) \)

    \(\Rightarrow \widehat {MAK} = \widehat {ABH} = \widehat {EBH}\)

    \( \Rightarrow \widehat {EHB} = \widehat {EBH} \) \(\Rightarrow \Delta EHB\) cân tại E.

    \( \Rightarrow EH = EB\,\,\left( 1 \right)\).

    Ta có \(\widehat {EBH} + \widehat {EAH} = {90^0}\) (Tam giác ABH vuông tại H)

    \(\widehat {EHB} + \widehat {EHA} = \widehat {AHB} = {90^0}\)

    \( \Rightarrow \widehat {EAH} = \widehat {EHA} \Rightarrow \Delta EAH\) cân tại E \( \Rightarrow EA = EH\,\,\left( 2 \right)\).

    Từ (1) và (2) \( \Rightarrow EA = EB \Rightarrow E\) là trung điểm của AB. Do A, B cố định \( \Rightarrow E\) cố định.

    Vậy khi M di chuyển trên cung nhỏ AC thì HK luôn đi qua trung điểm của AB (đpcm).

      bởi Phạm Phú Lộc Nữ 12/07/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON