YOMEDIA
NONE

Có tam giác đều ABC có đường cao AH. Trên cạnh BC lấy điểm M tùy ý (M không trùng với B, C, H). Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc vủa M lên AB và AC.

a)  Chứng minh tứ giác APMQ nội tiếp được trong đường tròn và xác định tâm O của đường tròn này.

b)  Chứng minh \(OH \bot PQ\).

c)  Chứng minh \(MP + MQ = AH\).

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Nguyễn Thị Thu Huệ

    a)  Chứng minh tứ giác APMQ nội tiếp được trong đường tròn và xác định tâm O của đường tròn này.

    Xét tứ giác APMQ có: \(\angle APM = \angle AQM = {90^0}\,\,\left( {gt} \right)\)

    \(\Rightarrow \angle APM + \angle AQM = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác APMQ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AM.

    Gọi O là trung điểm của AM \( \Rightarrow \) tứ giác APMQ nội tiếp được trong đường tròn tâm O đường kính AM.

    b) Chứng minh \(OH \bot PQ\).

    Ta có \(\angle AHM = {90^0}\,\,\left( {gt} \right) \)

    \(\Rightarrow \angle AHM\) nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AM \( \Rightarrow \) H thuộc đường tròn \(\left( O \right)\).

    Ta có \(\angle HPQ = \angle HAC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HQ)

             \(\angle HQP = \angle HAB\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HP).

    Mà \(\angle HAC = \angle HAB\) (tam giác ABC đều nên đường cao AH đồng thời là đường phân giác)

    \( \Rightarrow \angle HPQ = \angle HQP \Rightarrow \Delta HPQ\) cân tại H \( \Rightarrow HP = HQ\,\,\left( 1 \right)\).

    Mà \(OP = OQ\) (do P, Q đều thuộc \(\left( O \right)\))  (2).

    Từ (1) và (2) \( \Rightarrow OH\) là trung trực của PQ.

    \( \Rightarrow OH \bot PQ\).

    c) Chứng minh \(MP + MQ = AH\).

    Ta có

    \(\begin{array}{l}{S_{\Delta MAB}} = \dfrac{1}{2}MP.AB = \dfrac{1}{2}MP.BC\,\,\left( {Do\,\,AB = BC} \right)\\{S_{\Delta MAC}} = \dfrac{1}{2}MQ.AC = \dfrac{1}{2}MQ.BC\,\,\left( {Do\,\,AC = BC} \right)\\{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC\end{array}\)

    Mà \({S_{\Delta MAB}} + {S_{\Delta MAC}} = {S_{\Delta ABC}}\)

    \(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{2}MP.BC + \dfrac{1}{2}MQ.BC = \dfrac{1}{2}AH.BC\\ \Rightarrow \dfrac{1}{2}BC\left( {MP + MQ} \right) = \dfrac{1}{2}AH.BC\\ \Rightarrow MP + MQ = AH\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

      bởi Nguyễn Thị Thu Huệ 12/07/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON