YOMEDIA
NONE

Chứng minh x^2+(m-1)x-m^2-2=0 luôn có 2 nghiệm trái dấu

Cho phương trình \(x^2+\left(m-1\right)x-m^2-2=0\) (1) với m là tham số thực.

a) Chứng minh: phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu \(x_1,x_2\) với mọi giá trị của m

b) Tìm m để biểu thức \(T=\left(\dfrac{x_1}{x_2}\right)^3+\left(\dfrac{x_2}{x_1}\right)^3\) đạt giá trị lớn nhất

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Phan Thị Thanh

    Lời giải:

    a)

    Vì \(\Delta=(m-1)^2+4(m^2+2)>0, \forall m\in\mathbb{R}\) nên pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$

    Áp đụng định lý Viete cho pt bậc 2 ta có:

    \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=1-m\\ x_1x_2=-(m^2+2)\end{matrix}\right.(*)\)

    Vì \(m^2\geq 0, \forall m\in\mathbb{R}\Rightarrow m^2+2>0\Rightarrow -(m^2+2)< 0\)

    \(\Leftrightarrow x_1x_2< 0\).

    Do đó pt luôn có hai nghiệm trái dấu (đpcm)

    b)

    Sử dụng hằng đẳng thức và $(*)$ để biến đổi:

    \(T=\left(\frac{x_1}{x_2}\right)^3+\left(\frac{x_2}{x_1}\right)^3=\left(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\right)^3-3.\frac{x_1}{x_2}.\frac{x_2}{x_1}\left(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\right)\)

    \(T=\left(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\right)^3-3\left(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\right)\)

    Đặt \(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=t\Rightarrow T=t^3-3t\)

    Có: \(t=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2}{x_1x_2}-2=\frac{(1-m)^2}{-(m^2+3)}-2\)

    Vì \((1-m)^2\geq 0; -(m^2+3)< 0\Rightarrow t=\frac{(1-m)^2}{-(m^2+3)}-2\leq 0-2=-2\)

    Khi đó:

    \(T=t^3-3t=t(t^2-4)+t=t(t-2)(t+2)+t\)

    Vì \(t\leq -2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} t(t-2)(t+2)\leq 0\\ t\leq -2\end{matrix}\right.\Rightarrow T\leq -2\)

    Vậy \(T_{\max}=-2\). Dấu bằng xảy ra khi \(t=-2\Leftrightarrow \frac{(1-m)^2}{-(m^2+3)}-2=-2\Leftrightarrow m=1\)

      bởi Phan Thị Thanh 29/10/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF