YOMEDIA
NONE

Chứng minh rằng xyz là số chính phương

Cho x,y,z là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau với \(\left(x-z\right).\left(y-z\right)=z^2\). CMR: xyz là số chính phương.

Giúp mình với @Ace Legona, @Akai Haruma, @Võ Đông Anh Tuấn, @Nguyễn Huy Tú, @Neet, @Bùi Nhất Duy

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Đỗ Kim Oanh

    \(GT\Leftrightarrow xy-xz-yz+z^2=z^2\)\(\Leftrightarrow xy=\left(x+y\right).z\)

    \(\Leftrightarrow xyz=z^2\left(x+y\right)\)(*)

    Giờ chỉ cần chứng minh x+y là SCP

    Gọi d (\(d\in N\))là Ước chung lớn nhất của x-z và y-z thì

    \(\left\{{}\begin{matrix}x-z⋮d\\y-z⋮d\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow x-y⋮d\) mà theo đề bài ,x và y là 2 số nguyên tố cùng nhau nên nó có ƯCLN là 1 nên \(d=1\)

    nói cách khác, (x-z) và (y-z) là 2 số nguyên tố cùng nhau

    mà tích của chúng là một số chính phương nên (x-z) và (y-z) cũng là 2 số chính phương.

    \(\left\{{}\begin{matrix}x-z=a^2\\y-z=b^2\end{matrix}\right.\)(\(a,b\in N\)) \(\Rightarrow a^2b^2=z^2\Leftrightarrow ab=z\) ( do z nguyên dương)

    do đó :\(x+y=a^2+b^2+2z=a^2+b^2+2ab=\left(a+b\right)^2\)( \(a,b\in N\)) là SCP

    Từ (*) ta suy ra xyz là số chính phương

      bởi Đỗ Kim Oanh 28/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON