YOMEDIA
NONE

Chứng minh rằng (x^2+y^2+z^2)*3/(x*3+y*3+z*3)^2 >= 4

cho x, y, z khác 0 và x+y+z=0. chứng minh rằng (x²+y²+z²)*3/(x*3+y*3+z*3)² >= 4

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Nguyễn Hoàng Oanh

    Okay vậy là sửa đề thành \(x+y+z=0\) nhé.

    Thử nhiều lần kết luận là bài toán có thể chứng minh chặt hơn nữa là \(\frac{(x^2+y^2+z^2)^3}{(x^3+y^3+z^3)^2}\geq 6\)

    Giải như sau:

    Do có \(3\) số nên theo định lý Dirichlet tồn tại hai số cùng dấu. Giả sử hai số đó là \(x,y\) thì \(xy\geq 0\)

    Dựa vào điều kiện đề bài ta dễ có \(x^3+y^3+z^3=3xyz\) , nên

    \(P=\frac{(x^2+y^2+z^2)^3}{(x^3+y^3+z^3)^2}=\frac{8(x^2+y^2+xy)^3}{9x^2y^2(x+y)^2}\)

    Đặt \(\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=a\\ xy=b\end{matrix}\right.\Rightarrow P=\frac{8(a+b)^3}{9b^2(a+2b)}\) .

    Ta CM \(P\geq 6\Leftrightarrow 4a^3+12a^2b\geq 15ab^2+50b^3\) \((1)\)

    Vì \(x^2+y^2\geq 2xy\rightarrow a\geq 2b\geq 0\). Vì vậy:

    \(\left\{\begin{matrix} 4a^3+12a^2b=4a.a^2+12ab.a\geq 16ab^2+24ab^2=40ab^2\\ 15ab^2+50b^3\leq 15ab^2+25ab^2=40ab^2\end{matrix}\right.\)

    Do đó \((1)\) đúng, ta có đpcm.

      bởi Nguyễn Hoàng Oanh 28/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON